Manuel Valdivia Ureña

Molt honorable President de la Generalitat,
Magníficos y Excelentísimos Señores,
Excelentísimos e Ilustrísimos Señores,
Señores Claustrales,
Señoras y Señores:

Hablar de los abundantes méritos del profesor Valdivia como matemático y como maestro dentro de su aspecto humanístico, es para mí entrañable por la admiración y afecto que le tengo. Por tanto agradezco a la Universidad y al profesor Valdivia el inmerecido honor que me han otorgado de hacer esta presentación.

Manuel Valdivia pasó su juventud en su pueblo, Martos (Jaén), sintiéndose muy atraído por las Matemáticas, pero mucho más por la filosofía, la literatura y en especial por la poesía, leyendo a Antonio Machado, Miguel de Unamuno, Juan Ramón Jiménez y a los poetas de la generación del 27, como Federico García Lorca, Luis Cernuda, Pedro Salinas, Jorge Guillén, Gerardo Diego, etc... En el tiempo en que estudiaba la prueba de Hermite de la trascendencia del número y leía el libro de poesía Sombra del Paraíso de Vicente Aleixandre y después de leer la oda Luna del Paraíso pensó, según palabras suyas, que no sabría elegir entre esta oda y el trabajo de Hermite, decidiendo que la poesía y las matemáticas le acompañarían toda la vida. Valdivia, si saberlo entonces, hacía suyo el sentir del filósofo y matemático inglés Bertrand Russell cuando decía que el verdadero espíritu de alegría, y la excelencia más elevada se hallan tanto en la matemática como en la poesía.

Paradójicamente con esta decisión y tras su examen de Estado en la Universidad de Granada inicia sus estudios superiores en la Facultad de Derecho de Madrid, donde no llega a concluir el primer curso y comienza a preparar el ingreso en la Escuela de Ingenieros Agrónomos. En su nueva inclinación influye un hecho accidental: algunos compañeros de pensión preparan el ingreso en Agrónomos y Valdivia observa que con sólo sus conocimientos matemáticos de Bachillerato es capaz de resolver los problemas que se resisten a sus compañeros, veteranos de varios años de preparación.

En 1959 termina Valdivia la carrera de Ingeniero Agrónomo y obtiene una beca en Investigaciones agronómicas al tiempo que es nombrado Profesor Adjunto de Matemáticas en su Escuela. Se le concede el Grado de Doctor Ingeniero Agrónomo y en los dos años siguientes obtiene la licenciatura en Ciencias Matemáticas en la Universidad Complutense. Don Darío Maravall, un eminente valenciano también ingeniero agrónomo y matemático, pone en contacto a Valdivia con un discípulo del mítico Rey Pastor que se llamaba Ricardo San Juan, quien, desde el primer momento, aprecia las extraordinarias dotes de Valdivia, que obtiene el doctorado en Ciencias Matemáticas en 1963. En 1965 obtiene la cátedra de Análisis Matemático en la entonces Universidad Literaria de Valencia y en 1969 la cátedra de Matemáticas de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Agrónomos de esta Universidad. En esta ultima cátedra pidió la excedencia en 1976.

Retrocedamos un poco en el tiempo, concretamente a finales de 1967 en que se produce un cambio esencial de rumbo en las investigaciones matemáticas de Valdivia, coincidente con su estudio de las obras de Köthe y Schaefer sobre espacios vectoriales topológicos, que son una generalización de los espacios euclídeos de dimensión finita, motivada por problemas del Análisis funcional. En ese contexto de los espacios vectoriales topológicos se estudia con comodidad la teoría de la medida y de las distribuciones, con muchas de sus variadas aplicaciones.

El comienzo de la obra con repercusión internacional de Valdivia tuvo lugar a finales de 1968, en que obtuvo los teoremas generales de la aplicación abierta y el de la aplicación con gráfica cerrada, conocido hoy en los libros como teorema de K-omura-Adasch-Valdivia. El fino sentido matemático de Ricardo San Juan le llevó a intuir la obra de Valdivia, pues consta que el 12 de Enero de 1968 escribió al profesor John Horváth de la Universidad de Maryland: "He leído curiosamente la magistral obra del profesor Köthe en espacios vectoriales topológicos, y el profesor Valdivia, catedrático en Valencia, cuya tesis doctoral he dirigido, trabaja en esto y pienso que obtendrá resultados, pues me parece un excelente investigador".

Ahora estamos a veinticinco años de los primeros descubrimientos de Valdivia. En estos años ha publicado más de ciento treinta artículos sobre espacios vectoriales topológicos y espacios de Banach y cuestiones relacionadas, en los cuales ha resuelto difíciles problemas, abiertos muchos de ellos varios años, ha creado nuevos conceptos para su resolución y ha inspirado a muchos investigadores tanto en España como en otros países. En el ingreso de Valdivia en la Real Academia de Ciencias de Madrid en 1977 escribía Don German Ancochea que "los que hemos espigado en sus trabajos sabemos de la fina labor de orfebre que le adorna, del equilibrio de su imaginación a la hora de considerar generalizaciones, ni excesivas ni escasas, lo justo para poder atacar los problemas que precisan de nuevos puntos de vista o de instrumentos de trabajo; labor, seguía escribiendo Don German, en suma de artista y no debemos olvidar que la matemática antes que ciencia es un arte".

El desarrollo de la Matemática ha ido unido a la solución de difíciles problemas que contínuamente surgen desde la propia actividad matemática o desde otras ramas científicas. Desde 1968 Valdivia se ha caracterizado por resolver problemas difíciles, muchos de los cuales se han resistido más de veinte años contra el esfuerzo de excelentes matemáticos; su solución hay está unida al nombre de Valdivia. Ya en 1973, en un congreso celebrado en Silivri (Turquía), con motivo de la inauguración del Instituto de Matemáticas, el conocido especialista en Espacios de Banach, Profesor Alexander Pelczynski, planteó en su conferencia un problema, a su juicio de gran dificultad. Luego dirigiéndose al público dijo: "éste sería un buen problema para el profesor Valdivia". Debemos pues contar, muy someramente y minimizando en lo posible los aspectos formales, algunos de los difíciles problemas resueltos por Valdivia, para los que casi siempre ha tenido que desarrollar nuevas teorías, mostrando, en palabras del profesor Horváth, un ingenio increíblemente astuto. Daremos preferencia a la agrupación temática frente al estricto orden cronológico.

El grupo Bourbaki, cuya obra nos recuerda la de Euclides trasladada a nuestro siglo, denominó tonelados a los "espacios vectoriales topológicos para los que el principio de acotación uniforme es válido". Los espacios base para el estudio de las distribuciones de Schwartz tienen propiedades más fuertes que la tonelación, pues son ultrabornológicos al ser límites inductivos de espacios de Banach. Los límites inductivos de espacios normados se llaman espacios bornológicos. Dieudonné probó que cada subespacio de codimensión finita de un espacio tonelado o bornológico es, respectivamente, tonelado o bornológico. El primer resultado de Dieudonné fue extendido por el profesor Valdivia en 1971 a subespacios de codimensión numerable ([17]). La separación entre espacios tonelados, bornológicos y ultrabornológicos también debe mucho al trabajo del profesor Valdivia. En 1954 Nachbin, y Shirota construyeron, independientemente, espacios tonelados que no eran bornológicos suponiendo cierta la hipótesis del continuo. La construcción de tonelados no bornológicos, independiente de la hipótesis del continuo fue hecha por Kömura y por Valdivia en 1972 ([22]). En la primera edición de la obra Espacios vectoriales topológicos de Bourbaki (1955) se afirma que no se conoce ningún espacio tonelado y bornológico que no sea ultrabornológico. Este problema permaneció abierto hasta 1971 en que el profesor Valdivia encontró una clase de espacios tonelados y bornológicos que no eran ultrabornológicos ([18]). De este difícil problema aún dará Valdivia otras dos soluciones: la primera en 1974 construyendo en [34] una topología adecuada en el espacio D'(z) de las distribuciones de Schwartz, y la segunda en 1977, obteniendo en [53] un espacio ultrabornológico con un hiperplano que no es ultrabornológico.

El hecho de que la tonelación de un espacio sea una propiedad muy útil en las aplicaciones motivó el estudio de otras propiedades más fuertes que la tonelación, que también deben mucho a la obra de Valdivia, pues Grothendieck introdujo el espacio lo(I) formado por las funciones que toman sólo un número finito de valores en I provisto con la norma supremo, cuyo dual son las medidas finitamente aditivas, probando en 1958 que este espacio es tonelado, resultado que en teoría de la medida se conoce como el teorema de acotación de Nikodym-Grothendieck. En 1979 prueba Valdivia que lo(I) tiene una propiedad mucho más fuerte que la tonelación, que le permite obtener nuevas propiedades de localización en teoría de la medida, ([70]). La propiedad encontrada por Valdivia es utilizada por Robertson, Tweddle y Yeomans para introducir en 1980 los espacios supratonelados. Al año siguiente Valdivia y Pérez Carreras introducen los espacios totalmente tonelados ([87]) y estudian sus propiedades, planteando como problema abierto si el ya referido espacio lo(I), base de la teoría de la medida, es o no totalmente tonelado. La respuesta negativa a este problema la dio Arias de Reyna en 1985. Hoy día se sabe que lo(I) tiene propiedades más fuertes que la supratonelación, que se traducen en resultados de teoría de la medida, que dirigidos por el profesor Valdivia, hemos encontrado con el profesor Ferrando. Tal vez el libro más completo sobre tonelación se deba a dos discípulos de Valdivia, los profesores de esta Universidad Pérez Carreras y Bonet.

En 1954 Grothendieck escribió una célebre monografía sobre los espacios de Fréchet y DF en la que propuso varios problemas abiertos. En uno de ellos se preguntaba si sería cierto que cuando un espacio E fuese el límite inductivo de una sucesión creciente de subespacios En, se tendría que el bidual E" sería el límite inductivo estricto de la sucesión de biduales E"n. En 1979 ([66]) el profesor Valdivia consiguió dar una respuesta negativa a este problema. Otro problema propuesto por Grothendieck era si existirían espacios DF con un sistema fundamental numerable de acotados que satisfacen la condición de convergencia de Mackey, pero no satisfacen la condición de convergencia de Mackey en sentido estricto, que fue resulto afirmativamente por Valdivia en 1981 en el artículo [79]. En 1989, cuarenta y cinco años después de ser planteado por Grothendieck, aún no se sabía si el producto de dos espacios de Fréchet totalmente reflexivos era totalmente reflexivo. Un espacio E es totalmente reflexivo si cualquiera de sus cocientes Hausdorff es reflexivo. Ese año, en [109], resolvió el profesor Valdivia afirmativamente el problema con una elegante, y muy larga, caracterización de los espacios de Fréchet totalmente reflexivos.

La completitud del espacio base de las distribuciones de Schwartz D(z) definidas en un abierto z de Rn es consecuencia de un célebre teorema de Köthe que nos dice que el límite inductivo estricto de una sucesión de espacios completos es completo. Otros conceptos más fuertes de completación son la Br completación y la B completación introducidos por Vlastimil Pták sobre 1950. Desde entonces quedó abierto el problema de encontrar un Br completo que no fuese B completo, problema resuelto por Valdivia en 1984 ([94]). Con anterioridad, en 1974, ya había probado, utilizando un resultado de Smoljanov, que el espacio D'(z) no era Br completo ([34])y en 1977 probó que el espacio base de las distribuciones D(z) tampoco es Br completo ([57]). Estos resultados iban preparando el camino que le llevó en 1984 a resolver el problema abierto treinta y cuatro años de la existencia de un Br completo no B completo. Completando estos resultados en 1987 prueba que los espacios Beurling de ultradistribuciones tampoco son Br completos.

Un espacio F que sea Br completo tiene la propiedad de que cada aplicación lineal u con gráfica cerrada, definida en un espacio tonelado E y con valores en F es continua. Dado que existen espacios F que no son Br completos y que tienen la propiedad que terminamos de señalar, el profesor Valdivia introdujo en 1968 los espacios Gr([4]) y ([12]), que contienen estrictamente a los Br completos y es la clase maximal para la que vale el teorema de la gráfica cerrada con los tonelados, pues un espacio F es Gr si, y sólo si, cada aplicación lineal con gráfica cerrada definida en un espacio tonelado E y con valores en F es continua. El profesor Valdivia dió caracterizaciones de los Gr simultáneas a las de Adasch, si bien unos años antes, desde otra perspectiva, K-omura había abordado el mismo problema. Posteriormente, en 1974, en [39], introduce los espacios Lr, que le permiten dar un teorema de gráfica cerrada que hace referencia a aplicaciones débilmente continuas.

Hay otros dos aspectos del teorema de la gráfica cerrada con importantes aportaciones del profesor Valdivia. El libro de Laurent Schwartz sobre medidas de Radon contiene un teorema de gráfica boreliana que atrajo la atención de Valdivia por los espacios de Suslin. Entre sus aportaciones ahora sólo señalamos su solución a un problema de Schwartz consistente en que si el espacio E tiene la topología débil, y esta topología es diferente de la de Mackey sucede que para cada espacio F los p y e productos tensoriales completados de E y F no son de Suslin. El otro resultado que también atrajo la atención de Valdivia fue la solución dada por Marc De Wilde en 1967 con los espacios con redes de tipo C a la célebre conjetura de Grothendieck sobre gráfica cerrada; en 1986, en [99], Valdivia descubre la relación entre los espacios introducidos por De Wilde con los introducidos anteriormente por Slowikowski y Raikov y al año siguiente, en [102], introduce los quasi-(LB)-espacios que también dan una solución al problema de Grothendieck y resuelven una conjetura planteada por De Wilde.

Se debe a Banach que una biyección lineal y contínua entre dos espacios de Fréchet es un isomorfismo. Este resultado fue mejorado por Ptak probando que una aplicación lineal y continua u definida en un espacio Br completo E y con valores en un espacio tonelado F es un isomorfismo. Como sucedía en el teorema de la gráfica cerrada ni los espacios Br completos ni los tonelados son las clases maximales para las que vale el teorema del isomorfismo. En 1968, en [5] y [13], el profesor Valdivia introduce los espacios Vr, que contienen a los Br completos, y los espacios Wr que contienen a los tonelados, y que son las clases maximales para las que vale el teorema del isomorfismo. También en estos trabajos introduce los espacios V y los W, que son las clases maximales para las que vale el teorema de la aplicación abierta, que es la extensión natural del teorema del isomorfismo.

Estamos seguros de que quienes conozcan la obra de Valdivia se extrañarán de que aún no se haya hablado de sus aportaciones en espacios de sucesiones, en holomorfía infinita y en espacios de Banach. En espacios de sucesiones ha obtenido muchos resultados en espacios escalonados de Köthe y ha utilizado los espacios de sucesiones en la representación de espacios, siendo sorprendentes sus representaciones de los espacios distribuciones en función del espacio s de las sucesiones de decrecimiento rápido. Por ejemplo, ha obtenido que el espacio D(z) es isomorfo a la suma directa de una cantidad numerable de copias del espacio s de sucesiones de decrecimiento rápido, y su dual, el espacio de las distribuciones D'(z), es isomorfo al producto de una cantidad numerable de copias de s', dual topológico de s. Algunas de las representaciones de Valdivia han sido obtenidas independientemente por el matemático alemán Vogt.

El contacto de Valdivia con la holomorfía infinita se produce durante una visita que realizó a Dublín en febrero de 1980, e inmediatamente empezó a obtener resultados, que por su complejidad técnica no vamos a comentar.

Recientemente su interés se centra preferentemente en espacios de Banach y muestra de la repercusión de su investigación actual son ocho artículos muy recientes del profesor Valdivia, uno de ellos aún en prensa, que aparecen recogidos en los capítulos finales del libro publicado este año sobre espacios de Banach por Devill, Godefroy y Zizler. Pude constatar la expectación que despierta la obra que ahora está realizando Valdivia en el Congreso Internacional de Análisis Abstracto que se celebró este año en abril en Suráfrica por el elocuente y singular silencio que se respiró cuando expuso Valdivia su comunicación, que fue la solución a una conjetura planteada en 1970 en el libro de Singer sobre Bases en espacios de Banach.

Quiero pedirles disculpas por los tecnicismos utilizados; no he sabido prescindir de ellos para presentar someramente algunas de las aportaciones de Valdivia al Análisis Funcional. El profesor Saxon, sin ningún tecnicismo, glosó su labor científica escribiendo que "Valdivia es en el mundo de los espacios vectoriales topológicos lo que el maestro Segovia fue en el mundo de la guitarra, con una diferencia: mientras que Segovia recibió la herencia de Tárrega, Valdivia fue el pionero en España en la teoría de los espacios vectoriales topológicos". Y ahora, sin ningún tipo de tecnicismos, les comentaré una ayuda excepcional que ha tenido Valdivia, la de su esposa Doña María Teresa, que desde siempre ha entendido, animado y compartido el esfuerzo de Don Manuel.

Valdivia además de ser un excelente investigador es un magnífico profesor, de gran claridad, que transmite siempre entusiasmo en todos los temas que explica, uniendo una gran profundidad y un conocimiento variadísimo de las distintas ramas de la matemática. Se decía del matemático francés Hermite que los que habían tenido la dicha de ser sus alumnos no podían olvidar el sentimiento de belleza y claridad que hacía correr a través de su auditorio. Estas palabras se pueden aplicar al profesor Valdivia. Y por eso ha sido ingente su labor de formación de profesores e investigadores, así como su apoyo a otros investigadores, tanto en las dos Universidades de Valencia, como en otras Universidades españolas y extranjeras. Ha dirigido más de treinta tesis doctorales y son muy numerosos los artículos con notas de agradecimiento al profesor Valdivia. Voy a citar el principio y el final de una nota larga que me ha parecido significativa; está en la página 467 del volumen 168 del Journal of Mathematical Analysis and Applications en un artículo del profesor Saxon de 1992; comienza agradeciendo una carta del profesor Valdivia y termina en mayúsculas, traduzco literalmente, con un, ¡SEAN DADAS GRACIAS A DIOS! Esta exclamación la hemos sentido muchos de los discípulos del profesor Valdivia, como manifestación de gratitud por haberle conocido. Sé que a Valdivia le hubiese gustado que hubiese hablado más de sus discípulos y de sus obras; el tiempo apremia y ahora sólo les diré que recibe íntimas satisfacciones cuando aparecen trabajos de sus discípulos en revistas de primera fila o se recogen resultados en libros. Eso se produce cada vez con más frecuencia, y no sólo con discípulos, sino ya con "nietos". Hoy, poco antes de este acto, he recibido una separata de un discípulo y una nieta, los profesores López Molina y María José Ribera.

Respecto al aspecto humanístico de este gran matemático enamorado de la filosofía, la poesía y la música, intentaré describir alguna faceta a través de ideas que ha escrito o le he oído. Hace algunos años me comentó que lo que le pedía a la vida para cuando fuese viejo era poder seguir haciendo matemáticas. En otra forma volvió a escribir esta idea en el discurso que leyó en el acto de apertura del curso 1986-87 en la Universitat de Valencia cuando nos dijo que se sentía identificado con el espíritu filosófico del poeta latino Virgilio cuando ante el intento de sus amigos de disuadirle de estudiar griego en sus últimos años de vida respondió contundentemente: "Hay que trabajar, hay que estudiar como si uno no se fuese a morir nunca". En ese mismo acto se pudo ver otra faceta de su espíritu cuando manifestó que en los momentos adversos, o cuando los medios de trabajo que estaban a su alcance eran exiguos nunca había permitido que las lamentaciones se opusieran a la utilización de todas sus posibilidades, recitándonos la frase del poeta bengalí Rabindranath Tagore: "Si lloráis de noche porque no podéis ver el sol, las lágrimas os impedirán contemplar las estrellas".

He tratado de describir a un investigador que hace matemáticas, a un profesor que enseña matemáticas, y, sobre todo, a un hombre que se afana realizando su trabajo cada día en la Universidad con renovada y juvenil ilusión, y que ha sido un gran regalo para Valencia y sus Universidades en estos últimos veinticinco años.

Siento la convicción profunda de que la obra de Valdivia, cuyos motivos de complacencia por los éxitos que ha cosechado son más que sobrados, aún no ha tocado techo, ni en cuanto a calidad ni en cuanto a extensión temática, y me atrevo a decir que a los éxitos en Análisis Funcional seguirán otros relativos a las cuestiones matemáticas que lo originaron y que aún no tienen solución.

Debo, y deseo, dar las gracias al profesor Don Eduardo Primo Yúfera, de quien partió la idea de proponer a Valdivia como Doctor Honoris Causa, y también a la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Agrónomos, a los Departamentos de Bioquímica, Estadística e Investigación Operativa, Física Aplicada y Matemática Aplicada y al Colegio de Ingenieros Agrónomos que hicieron propia la idea del profesor Primo Yúfera, y manifestar que somos muchos, matemáticos y no matemáticos, los que desearíamos que el profesor Valdivia pudiese estar más vinculado con nuestra Universidad, para cuyos miembros es un gran honor recibirle como Doctor Honoris Causa.