Darío Maravall Casesnoves

VERDAD Y REALIDAD DE LAS GEOMETRÍAS EUCLÍDEAS Y NO EUCLÍDEAS

Es para mí un gran honor el que me ha concedido la Universidad Politécnica de Valencia al nombrarme Doctor "Honoris Causa", tanto por el gran prestigio de esta Universidad, como por lo preciado del título.

Además en mi caso es también una gran satisfacción por lo muy unido que estoy a esta tierra valenciana, soy de Játiva, lo fueron mis Padres, mis Abuelos y todos mis Antepasados que yo recuerde.

He empleado en plural la palabra geometrías euclídeas, porque aparte del espacio habitual, la geometría euclídea puede adecuarse a espacios que no son simplemente conexos, que aunque tienen la misma métrica, tienen propiedades topológicas distintas, de modo que existen figuras geométricas de apariencia surrealista, con extrañas propiedades. También las geometrías hiperbólica y elíptica (no euclídeas) pueden adecuarse a espacios que no son simplemente conexos, lo que tiene aplicaciones físicas. Véanse los dibujos y la bibliografía.

Voy a analizar algunos aspectos de las Matemáticas y de la Física, así como de sus Filosofías, que me parecen unos relevantes y otros curiosos.

Voy a señalar su impacto en nuestras formas de pensamiento y en nuestra concepción ideológica del mundo. Una característica a señalar, es cómo han ido cambiando en el tiempo, nuestra idea de la Verdad, de la realidad de las cosas, de qué es una demostración, etc. La Verdad ha perdido en el campo científico una parte de su valor absoluto, se ha relativizado algo, en el sentido en que lo entendió el gran literato italiano Pirandello, y que ha constituido el núcleo de algunas de sus más célebres obras de teatro: "Seis personajes en busca de Autor", "Enrique IV" y sobre todo "Así es si así os parece". Esta última obra ha sido traducida al español por Ildefonso Grande, que fue catedrático de Francés en el Instituto de Játiva, con el título "La verdad de cada cual", título muy apropiado, y que trasladado al campo de la Ciencia, nos haría decir que cada época tiene su verdad científica, sus propios métodos para alcanzarla y sus criterios para medir la exactitud y el rigor en las demostraciones.

Nosotros los occidentales somos herederos directos de la cultura griega y romana, herencia que ha sido modificada y muy mejorada por la que hemos recibido del Cristianismo. Los griegos nos han dejado tres grandes legados científicos que han durado siglos, que son la Física y la Lógica de Aristóteles y la Geometría de Euclides, la primera falsa y las otras dos verdaderas. La Física de Aristóteles va asociada, aunque no por necesidad lógica a la teoría geocéntrica de Ptolomeo, ambas son falsas, pero a pesar de ello, la segunda produjo un gran progreso en la Astronomía mientras se creyó en ella, es sorprendente como el gran talento e ingenio de los antiguos hizo posible que a pesar de apoyarse en una base falsa, lograran un conocimiento tan grande de los hechos reales. El fin de la Física aristotélica y del sistema de Ptolomeo tiene lugar con Galileo. El proceso histórico que condujo a este final es apasionante. Lo hemos descrito y analizado en una conferencia publicada en 1993 por "Los Amigos de la Cultura Científica" que lleva por título "El legado de Galileo en la evolución de la Física hasta hoy", por lo que no voy a insistir sobre este tema.

La lógica aristotélica sigue siendo válida, ha reinado prácticamente sin rival hasta fines del siglo XIX, en que nace la lógica matemática, y a partir de ahí ha tenido lugar el florecimiento de las lógicas no aristotélicas. En la Lógica de Aristóteles son válidos dos grandes principios que tienen un uso frecuente y muy importante en la Matemática, que son el principio de contradicción según el cual "una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez" y el principio del tercero excluido según el cual "una proposición es o verdadera o falsa", también llamado "principio del tertium non datur". Modernamente Brower desarrolló la llamada lógica intuicionista que niega el principio del tercero excluido, y yo mismo he desarrollado una lógica que he propuesto llamar lógica relativista en la que no es válido el principio de contradicción (véase bibliografía). En relación con lo que he llamado lógica relativista he de hacer una cita que no conocía cuando publiqué mis escritos. Esta cita es de Coleridge en sus "Charlas de sobremesa", que escribe: Platón nos hace ver que proposiciones relativas a concepciones contradictorias son, sin embargo, verdaderas, y por lo tanto deben pertenecer a una lógica superior, la de las ideas. Son contradictorias sólo en la lógica aristotélica, que es el instinto de la comprensión (cita resumida).

Pieza clave de la Lógica aristotélica es el silogismo. Al analizar la paradoja de Zenón de Elea de Aquiles y la tortuga, en lo que he llamado los engaños de la razón (véase bibliografía) he señalado que en Lógica como en Matemáticas existe peligro en el empleo del infinito y he establecido que un silogismo repetido infinitas veces puede dejar de ser un silogismo, o lo que es lo mismo que una demostración repetida infinitas veces, puede dejar de ser una demostración.

Los griegos progresaron mucho más en Matemáticas que en Física, y dentro de las Matemáticas fue la Geometría en lo que más. En el siglo VI a. J.C. en Mileto, que era un puerto y una ciudad jónica floreció por primera vez el pensamiento filosófico y científico griego. Mileto fue conquistada por los persas en 540 a. J.C. y gozó de relativa autonomía hasta el 494 en que se sublevó contra Persia y fue vencida. Fue liberada en el 479, pero ya en esa época había perdido su importancia cultural a favor de la Grecia europea, especialmente de Atenas. En Mileto vivió Tales (¿625-547?) el primero en el tiempo de los grandes filósofos griegos, a quien se le atribuye el cálculo de las alturas de las pirámides egipcias mediante las propiedades de los triángulos semejantes, el descubrimiento del poder de atracción de los imanes y de la electricidad estática. Él inició la transformación de las Matemáticas en una ciencia abstracta y dio las primeras demostraciones deductivas de algunos teoremas.

Antes de llegar a Euclides, entre otros muchos sabios destacaron Pitágoras (¿570-480?) que en el orden cronológico fue el primer físico matemático dando a conocer la relación entre la longitud de las cuerdas y las notas musicales; se le considera el fundador de la matemática pura, al reconocer que los números y las figuras geométricas son ideas producidas por la mente humana, distintas de las imágenes físicas, de carácter abstracto totalmente desligado de la materia. La aportación más importante de Pitágoras es el teorema que lleva su nombre, que afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Aparte de su gran interés teórico, es un teorema con grandes aplicaciones prácticas al cálculo de la diagonal del cuadrado en función del lado, de la diagonal del cubo en función de la arista, del lado del triángulo equilátero en función del radio del círculo circunscrito. Ligado a este descubrimiento está el de que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea igual al doble de un cuadrado, o lo que es lo mismo que 2œ no es un número racional (es irracional), es decir no es igual al cociente de dos números enteros. Combinado con el descubrimiento posterior de la descomposición de un cuadrado en la suma de dos cuadrados y dos rectángulos iguales, que es la demostración geométrica del cuadrado de una suma, sirve para calcular el lado de un triángulo cualquiera en función de los otros dos y de la proyección de uno de ellos sobre el otro.

La importancia actual del teorema de Pitágoras es muy grande porque aplicado a cantidades infinitesimales define la métrica de las superficies en el espacio euclídeo, y de los espacios riemannianos (no euclídeos); es la base de la geometría diferencial métrica.

Conviene señalar que el teorema de Pitágoras no es válido en las geometrías no euclídeas clásicas, en la hiperbólica el cuadrado de la hipotenusa es menor que la suma de los cuadrados de los catetos, y en la elíptica es mayor. El primer resultado es importante en Física, en la Cinemática relativista, en donde la composición de velocidades coplanarias no es conmutativa, y existe una velocidad superior límite (la velocidad de la luz en el vacío). Véase bibliografía.

Otro matemático importante anterior a Euclides, fue Eudoxio de Cnido (408-355) quien estableció seguramente por primera vez, de una manera clara, la estructuración deductiva de la geometría sobre la base de axiomas explícitos; para él como para Platón (teoría de la anamnesis) la mente era capaz de reconocer como verdades evidentes los axiomas. Sus aportaciones científicas fueron muy variadas e importantes tanto en Geometría, como en Astronomía y Geografía. Preparó muy eficazmente el camino a Euclides; Eudoxio fue un platónico, Euclides fue a la vez un platónico y un aristotélico.

Platón (427-347) y Aristóteles (384-322) aunque ninguno fue matemático, contribuyeron mucho al desarrollo de la Matemática griega, como animadores y como orientadores.

Platón fundó en Atenas hacia el 387 a. J.C. la Academia que fue una especie de Universidad. Es muy conocida la inscripción en la Academia de la célebre frase "No entre quien no sepa Geometría", era un entusiasta de la Matemática y creía que era muy importante su estudio para el aprendizaje de la Filosofía y para el conocimiento del mundo que nos rodea. Para él, los objetos geométricos son independientes de la experiencia y distintos de los objetos físicos, su realidad es intrínseca a ellos. Contribuyó mucho, Platón, a la preferencia de los griegos por lo abstracto y por la verdad absoluta, encarnada para ellos, en los teoremas matemáticos, lo que les hizo muy exigentes para el rigor y la exactitud matemática.

La Academia de Platón duró mucho tiempo, en los siglos III y IV hay un renacimiento del neoplatonismo, que se convierte en parte, en una reacción tardía del mundo romano pagano contra el Cristianismo, que se hace muy fuerte bajo el emperador Juliano el Apóstata (331-363) también neoplatónico, pero dura poco. En el año 529 el emperador bizantino Justiniano cierra la Academia de Atenas, cuando ya prácticamente el neopaganismo estaba muerto, es más bien un acto simbólico que recuerda algo al cierre del Club de los Jacobinos de París en 1799 por Fouché, ministro del Directorio (3 de Termidor), acto que en su momento pareció a la opinión pública, atrevido y casi temerario como consolidación de la reacción termidoriana, pero que en realidad fue también un acto simbólico, pues el Terror en París había llegado a su fin el 9 de Termidor de 1794 con la caída y muerte de Robespierre y de su facción.

Como recuerdo al sentimiento de adhesión de Platón a la Geometría, hace unos años en Madrid, un grupo de ingenieros y científicos crearon lo que llamaban la Akademia (con k) Neoplatónica con el lema "entre quien ame la Geometría" para renovar el estudio y el amor por esta ciencia.

Aristóteles al crear la Lógica como ciencia deductiva (su Organon) contribuyó enormemente al plan de los Elementos de Euclides. Discrepaba de Platón sobre la naturaleza de los objetos matemáticos, atribuía la realidad del universo a la materia, a las sustancias concretas, pero entre las propiedades de los objetos materiales estaban los números y las figuras geométricas, de modo que estos son conceptos abstractos que se derivan de las propiedades físicas de los cuerpos concretos.

Aristóteles dio un concepto de definición que es prácticamente el moderno, debe de expresarse en términos de algo previo a lo definido, reconoce la necesidad de que existan algunos pocos términos indefinidos como punto de partida para el conjunto de definiciones. Aristóteles se dio cuenta de que una definición dice lo que es una cosa, pero no prueba la existencia de la cosa. La existencia tiene que demostrarse salvo para unas pocas cosas que sirven de punto de partida para la elaboración de cualquier teoría. Aristóteles destaca la diferencia entre los axiomas que son verdades comunes a todas las ciencias y los postulados que son verdades específicas de una ciencia particular. Plan que sigue Euclides en sus Elementos.

Antes de que Euclides escribiese sus Elementos, otros griegos habían escrito sus Elementos de Geometría, entre ellos figuran Hipócrates que vivió hacia el 450 a. J.C., que fue seguramente el primer griego que escribió un tratado de Geometría (Lúnulas hipocráticas), Theudius de Magnesia cuyo libro era "texto" en la Academia de Platón. La idea que se iba abriendo camino era obtener mediante demostración (por vía deductiva) el mayor número de verdades geométricas y al mismo tiempo reducir al mínimo las verdades primarias, reconocidas sin demostración, que servían como punto de partida para el conocimiento geométrico.

Euclides vivió de fines del siglo IV a principios del siglo III a J.C., enseñó en Alejandría, centro intelectual de primera categoría en aquel tiempo, fue discípulo de Platón, y estuvo sin duda alguna muy influido por Aristóteles; escribió hacia el 300 a J.C. sus Elementos (Stoiecheia) donde recopiló casi todo el saber geométrico de su tiempo, con grandes aportaciones suyas. Es una obra supermaestra.

El texto griego nos ha llegado por un gran número de manuscritos, la mayor parte copia de una versión hecha por Teon de Alejandría en el siglo IV. En 1808 Peyrard encontró en el Vaticano un manuscrito del siglo X que contenía una copia anterior a la versión de Teon. También se descubrieron en otras Bibliotecas, otros manuscritos con copias de fragmentos de otras versiones, lo que junto a las traducciones árabes y latinas, ha permitido reconstruir casi íntegramente el texto original de Euclides. Una de las versiones más dignas de crédito es la de Heiberg y Menge en ocho volúmenes (Leipzig 1883-1916) que contiene las obras conocidas de Euclides. Otra es la de Heath (Cambridge 1925 en tres volúmenes, reimpresa en 1956 en Nueva York).

Euclides desde un principio ejerció una gran influencia con sus Elementos, siendo muy comentado por los mismos griegos, entre ellos Posidonio y Gémino en el siglo I a J.C.; Herón de Alejandría de los siglos I a J.C. y I de nuestra era; Porfirio (siglo III), Pappus (finales del siglo III) Proclo (410-485), Simplicius, el comentador de Aristóteles (siglo VI) etc.

Muy pronto los árabes tuvieron conocimientos de los Elementos e hicieron traducciones de los mismos a partir del siglo VIII, bajo el califato abasida de Bagdad, de Harun al Rashid (786-809).

Euclides llegó al occidente europeo principalmente a partir de sus traducciones al latín en Toledo y Palermo, ciudades que fueron reconquistadas a los árabes en 1.085 y 1.091, donde juntamente a Euclides, se tradujo a Aristóteles y a Ptolomeo, y muy poco de Arquímedes. De este modo la escuela de traductores de Toledo desempeñó un papel muy importante en el despertar intelectual europeo del siglo XII.

El uso de los Elementos de Euclides como texto para el estudio de la geometría duró muchísimo, hasta muy entrado el siglo XIX; había mucho interés en que se estudiaran porque pedagógicamente no solo se quería que el estudiante aprendiese geometría sino también porque se consideraba su estudio como una buena gimnasia mental y una manera de disciplinar el conocimiento. Necesidades de otro tipo hicieron que a partir de final del siglo XVII comenzaran a escribirse manuales de geometría por otros autores, que aunque inspirados en Euclides introdujeron nuevos enfoques y aportaciones que modificaron bastante el texto de Euclides. Entre estos manuales fueron importantes en Inglaterra el de Simson de 1756 que tuvo cerca de 30 ediciones, el de Playfair de 1797 que tuvo 10 ediciones. En Alemania el de Lorenz de 1773. En Francia el muy anterior de Déchales de 1672, que fue varias veces reeditado y traducido al inglés y al italiano. En el siglo XVIII los Elementos de Geometría de Legendre y de Lacroix en Francia.

No hay ninguna duda de que el estudio de la geometría, apasionó a muchos estudiantes (niños o adolescentes) y que despertaron en ellos una gran vocación, fue la forja de muchos matemáticos célebres. Entre ellos está el caso de Pascal en quien se mezcla la historia y la leyenda en su extraordinaria precocidad matemática; Einstein quien él mismo relata que a los 12 años cayó en sus manos lo que él llama "el santo libro de geometría" que le causó una impresión indescriptible por la claridad y la precisión del texto. Es notable el caso de Galois, uno de los más grandes matemáticos, nació en 1811, el mismo año en que nació el Rey de Roma (el hijo de Napoleón); en 1823 para cursar estudios secundarios ingresó en el Colegio Real Luis El Grande, donde habían estudiado Víctor Hugo y Robespierre, al año siguiente moría Luis XVIII y era coronado su hermano Carlos X, el último Borbón francés, con el advenimiento de este nuevo Rey volvieron a Francia tiempos turbulentos y revolucionarios, que influyeron en la vida de Galois; éste no se encontraba a gusto en el Colegio, era conflictivo para sus profesores que le consideraban somnoliento, indisciplinado y falto de interés, pero en el curso de 1827 tuvo que estudiar los Elementos de Geometría de Legendre y todo cambió para él, quedó ensimismado y absorto en su lectura, le pareció el edificio de la geometría algo lleno de belleza, los teoremas más reales que el mundo físico, se le hacía evidente la verdad de los teoremas; un libro destinado a ser estudiado en dos años, lo aprendió en meses.

Volviendo de nuevo a Euclides se le considera "el padre de las Matemáticas modernas", el auténtico fundador del método axiomático. En 1959 hubo un congreso de matemáticos en Royaumont, donde el gran matemático francés Dieudonné, coautor de Bourbaki, lanzó un grito "abajo Euclides", si bien es obvio que ello no suponía ninguna crítica al genio de Euclides, si era el inicio de una profunda reforma de la enseñanza matemática, era el fin de una época milenaria.

El sistema axiomático de Euclides y su método eran insuficientes para una construcción de la geometría independiente de la experiencia y de la percepción visual de las formas geométricas. Euclides hacía constante uso de la intuición y de lo que ven nuestros ojos en sus demostraciones y construcciones, y así por ejemplo si una recta pasa por un punto interior a una circunferencia y por un punto exterior, la recta corta a la circunferencia; si una circunferencia pasa por un punto interior y por un punto exterior a otra circunferencia, las dos circunferencias se cortan en dos puntos, y así se pueden citar otros muchos ejemplos. Estos son hechos que podemos comprobar visualmente en el dibujo sobre el papel, pero que es necesario demostrar, y para cuya demostración no basta con los Elementos de Euclides.

Euclides, aunque platónico, en sus Elementos sigue la línea marcada por Aristóteles de distinguir entre axiomas y postulados, los primeros son verdades primarias admitidas sin demostración, cualesquiera que sea la razón por la que las aceptamos, son comunes al razonamiento lógico, y los segundos son solamente propios de la geometría. Además hace uso de definiciones, de modo que con este bagaje inicial se va desarrollando todo el saber geométrico. Ya Aristóteles había señalado que no es necesario que los postulados sean verdaderos a priori, que su certeza se comprueba al contrastar con la realidad los resultados obtenidos. Proclo aún fue más lejos, considera que las matemáticas son verdaderas, solo si los supuestos iniciales son verdaderos y la deducción es correcta, Proclo le da a las Matemáticas un estatus de ciencia hipotética más que de ciencia exacta. Obsérvese que la opinión de Aristóteles es parecida a la que adoptarán en nuestro siglo los físicos teóricos, y que la de Proclo es un adelanto de la de Bertrand Russell (1872-1970) que define las Matemáticas como la ciencia que no sabe de lo que trata ni si lo que dice es verdad o no, se refiere con ello a que se parte de ciertos postulados que se admiten como verdaderos, y mediante ciertas operaciones conocidas y bien definidas, que actúan sobre elementos de naturaleza desconocida, se va obteniendo una cadena de teoremas que constituyen una teoría matemática dada. Al ser los elementos de naturaleza desconocida es por lo que dice Russell que las matemáticas no saben de lo que tratan, y por ser los teoremas verdaderos, única y exclusivamente, si los postulados lo son, es por lo que dice que ni siquiera saben si lo que dicen es verdad. No obstante hasta casi nuestro siglo se han considerado axiomas y postulados como verdades indiscutibles.

Las definiciones, postulados y axiomas de Euclides varían ligeramente en las distintas versiones de sus Elementos. Vamos a seguir las de Heath o las de Heiberg-Menge antes citadas. A continuación damos algunas definiciones:
· 1.- un punto es lo que no tiene partes.
· 2.- una línea es una longitud sin anchura
· 4.- la recta es aquella línea que se halla igualmente respuesta respecto a todos sus puntos.
· 5.- una superficie posee únicamente longitud y anchura
· 7.- el plano es una superficie que se halla igualmente dispuesta con respecto a todas sus rectas.
· 15.- un círculo es una figura plana rodeada por una línea (la circunferencia) tal que todas las rectas que inciden sobre ella desde cierto punto interior a la figura son iguales entre sí.
· 16.- este punto se llama centro del círculo.
· 23.- rectas paralelas son aquellas que, estando en el mismo plano, no se encuentran cuando se prolongan indefinidamente en ambas direcciones.

Los cinco postulados son:
· I. es posible trazar un recta desde cualquier punto a cualquier otro
· II. es posible prolongar indefinidamente cualquier recta. Una versión distinta del postulado II se obtiene sustituyendo en la definición anterior "indefinidamente" por "continuamente".
· III. se puede trazar un círculo con cualquier centro y radio arbitrario. Una versión distinta del postulado III se obtiene sustituyendo en la definición anterior "arbitrario" por "de cualquier distancia".
· IV. todos los ángulos rectos son iguales.
· V. si una recta que corta a otras dos forma ángulos internos del mismo lado de la secante, cuya suma sea menor que dos rectos, aquellas dos prolongadas hacia este lado, se encuentran. Este es el famoso postulado de las paralelas, que algunas veces es considerado como un axioma, el axioma XI. Este postulado de las paralelas equivale a la proposición XXXI de los Elementos, que afirma "por un punto dado se puede trazar una sola recta paralela a una recta dada". Algunos autores han tomado la proposición XXXI como el V postulado, entre ellos Playfair.

Entre los axiomas vamos a citar dos:
· VII. cosas que se pueden superponer son iguales.
· IX. dos rectas no pueden encerrar espacio.

Las definiciones han sido muy criticadas, entre otras razones porque algunas operan con conceptos que a su vez deberían de ser definidos, otras no son utilizadas en la demostración de los teoremas y por tanto son inútiles y se pueden suprimir.

Las definiciones 15 y 16, así como la de las esferas, no se cumplen en algunos casos (el centro puede ser exterior al círculo o a la esfera) como he encontrado en mis investigaciones sobre geometría euclídea en el plano o en espacios que no son simplemente conexos. Ver figuras.

Los postulados y axiomas, salvo el postulado IV, se consideran necesarios, pero se estiman insuficientes, porque no pueden demostrar frases o proposiciones que se utilizan en el texto, como por ejemplo "un punto es interior o exterior a un círculo", "dos puntos están o no en el mismo semiplano de los dos en que una recta divide a un plano". Para entender estas proposiciones es preciso recurrir al dibujo y a la visión de las figuras geométricas.

El axioma VII emplea el verbo "superponer" para demostrar la igualdad, pero la realización de esta operación requiere el uso de los movimientos también ha sido criticado. Arquímedes (¿285-212) que además de un gran matemático, fue también un físico matemático, el principio que lleva su nombre es la base de la Hidrostática, completó los postulados de Euclides con otros cinco, de los que damos a continuación tres:
· I. entre todas las líneas con extremos comunes la recta es la más corta.
· II. otras dos líneas cualesquiera que tengan los mismos extremos, y se hallen en un mismo plano y no son iguales, si ambas son convexas y una de ellas es encerrada por la otra y por la recta que une los extremos, la encerrada es menor que la que encierra.
· V. de dos líneas, superficies o cuerpos desiguales, la mayor es menor que la magnitud que se obtiene si se repite la menor un número adecuado de veces.

Este último axioma es importantísimo y ha pasado a la Historia con el nombre de Axioma de Arquímedes y los conjuntos para los que es válido se llaman arquimedianos.

El axioma II y el III y IV que son una extensión del II del plano al espacio dependen de la definición de distancia, si se adopta la euclídea son proposiciones que se pueden demostrar y si no se adopta la distancia euclídea, según sea esta distancia pueden no ser verdaderos.

Arquímedes dio también la ley de la palanca y suya es la frase: "dadme un punto de apoyo y levantaré el universo" frase que ha tenido éxito y así Descartes (1596-1650) diría "dadme extensión y movimiento y construiré el universo". Eddington (1882-1944) el astrofísico, y el matemático de la Física Relativista diría "dadme relaciones y construiré el universo".

A pesar de sus faltas y deficiencias y de los retoques dados por algunos Autores, la axiomática de Euclides ha durado hasta fines del siglo XIX en que Hilbert (1862-1943) estableció la suya, que analizaremos más adelante. Legendre (1752-1833) escribió sus Elementos de Geometría, que tanto impresionaron a Galois, en 1794, libro que tuvo muchas ediciones aumentadas y corregidas hasta 1823, en su exposición axiomática de la Geometría sigue la línea euclidiana con la definición de recta de Arquímedes. Vamos a reproducir algunas de las frases primeras de su libro que son definiciones:
· 1.- El objeto de la Ciencia de la Geometría es la medida del espacio. El espacio tiene tres dimensiones: longitud, anchura y altura.
· 2.- Una línea tiene longitud pero no anchura. Los extremos de una línea se llaman puntos, el punto no tiene extensión.
· 3.- Una línea recta es el camino más corto entre dos puntos.

Más adelante afirma "un axioma es una proposición que es evidente por sí misma" y "un teorema es una verdad que se vuelve evidente por medio de razonamientos llamados demostración".

Como axiomas utiliza entre otros:
· 4. Sólo hay una recta que une dos puntos.
· 5. Dos rectas, superficies o sólidos son iguales, si cuando se los pone uno sobre otro, coinciden con todas sus dimensiones.

El cambio importante en la forma de ver las cosas surge con la axiomática de Hilbert, en que la Geometría se convierte en una construcción intelectual independiente, estudiada por ella misma y no por sus aplicaciones, deja de ser la técnica de los agrimensores. Señala Hilbert que sus axiomas están construidos sobre tres nociones no definidas de punto, recta y plano, y que estos nombres son enteramente arbitrarios, que él podría haber llamado "vasos de cerveza, sillas y mesas". Compárese esta opinión de Hilbert, que me parece cae dentro de la definición de Matemáticas de Russell, con la definición de Geometría de Legendre.

Vistas las opiniones de Euclides, Arquímedes, Legendre y Hilbert, aunque ésta última la analizaremos más adelante, cabe hacernos las preguntas ¿qué es la Geometría?, ¿dónde está la verdad geométrica?.

Es obvio que la Geometría es una parte de la Matemática pura, que no le es aplicable el método experimental, lo que la aleja de la Física, quizás dentro de algunos años el progreso de los ordenadores permita una investigación programada de la geometría, que es lo que más se aproximaría a la experimentación. Por otra parte es también obvio que las construcciones geométricas se pueden dibujar sobre el papel y que desde el descubrimiento de la geometría descriptiva por Monge (1746-1818), no solamente se pueden representar sobre el papel las relativas al plano, sino también las del espacio, y si bien de los dibujos no podemos deducir teoremas, por el contrario si sirven para comprobar la veracidad de los teoremas; y no son solamente la regla (graduada o no), el compás, el semicírculo graduado y demás instrumentos de dibujo los que se pueden utilizar, sino que también otros instrumentos mecánicos, como los planímetros que sirven para medir áreas. La geometría describe físicamente el espacio y lo mide, sirve de base para la explicación de los fenómenos físicos, hasta el punto de que si el universo en que vivimos no estuviera conformado con arreglo a lo que especifica la geometría euclídea, la fenomenología del mundo físico sería muy distinta de lo que es, la verdad física depende de la verdad geométrica. Se ha dicho que si los geómetras no hubieran descubierto el número pí, lo hubieran descubierto los electricistas.

En la historia de la Ciencia hay muchos ejemplos de que sobre una base falsa se ha construido una teoría cierta o que al menos ha explicado lo que observamos y vivimos. Así por ejemplo sobre el sistema geocéntrico de Ptolomeo, mediante un sofisticado y complejo conjunto de epiciclos y excéntricas se han podido explicar los fenómenos observados y calculados por los astrónomos. Sobre la creencia falsa en el calórico, Carnot (hijo) realizó sus investigaciones que condujeron a su famoso ciclo y a la fundación de la Termodinámica. Sobre la creencia falsa de la electricidad como un fluido de naturaleza desconocida, Ampère y Faraday construyeron el electromagnetismo.

En la misma dirección, en más de dos mil años desde Euclides a Hilbert, a pesar de usar una base defectuosa e insuficiente, y un rigor a veces dudoso en las demostraciones, el saber geométrico ha alcanzado un desarrollo extraordinario, nunca ha sido contradecido por el dibujo, las máquinas y las construcciones, ni por la descripción y el uso del mundo físico en el que vivimos. Siempre el talento y la intuición de los geómetras ha suplido los fallos y deficiencias del sistema euclídeo. Se puede decir que la revolución geométrica de Hilbert ha hecho más por el honor del espíritu humano que por la propia geometría. Entendiendo el honor del espíritu humano en el sentido de la célebre carta del 2 de julio de 1830 de Jacobi a Legendre sobre Fourier en la que afirmaba "una cuestión sobre números vale tanto como una cuestión sobre el sistema del mundo".

En 1972 en una conferencia de Terminología Científica en la Academia della Crusca de Florencia, publicada en la Revista de la Academia Toscana de las Ciencias y las Letras de la Colombaria, analizaba la dificultad de definir, decía que había que buscar definiciones claras y distintas de las palabras científicas en el sentido cartesiano. Como ya había dicho en anteriores ocasiones (véase bibliografía) estas dos cualidades que Descartes atribuía a las ideas: claridad y distinción, no son a mi juicio cualidades independientes, es decir que no se pueden mejorar indefinidamente, sino que por el contrario son cualidades complementarias en el sentido de Bohr y de la Escuela de Copenhague de la Mecánica Cuántica. A partir de ciertos límites cuanto más clara se vuelve una idea, menos distinta se nos aparece y recíprocamente. Para mi las ideas son tanto más claras cuanto más familiares nos son las palabras que empleamos para expresarlas, y las ideas son tanto más distintas cuanto más susceptibles son de ser interpretadas matemáticamente.

Vamos a analizar las definiciones, postulados y axiomas de Euclides. En primer lugar observamos que Euclides está definiendo objetos geométricos, proposiciones y operaciones que nos son familiares en la vida cotidiana, son idealizaciones de algo que vemos. Obsérvese que la definición de punto es prácticamente la misma que la de Legendre, esta definición ha sido muy criticada y se considera preferible dejar indefinido el punto y definir sus relaciones con otros puntos y con otros objetos indefinidos como son las rectas y los planos (Hilbert). Sin embargo lo que Euclides está diciendo del punto es verdad, si se suprime un punto de una recta no disminuye la longitud de la recta, pero se ha modificado profundamente su naturaleza topológica, ésta ha dejado de ser simplemente conexa.

Euclides es posterior a Demócrito (¿470-380?) por tanto podía haber definido los puntos como los átomos del espacio. En la matemática moderna en la teoría de conjuntos y en los espacios abstractos, los puntos o elementos son los componentes atómicos de los espacios; así como un conjunto tiene partes (sus subconjuntos) un punto no tiene partes. Dejar indefinido el punto es una pérdida de riqueza científica, porque no solamente hay puntos geométricos sino que también hay puntos físicos; el punto material base de la mecánica racional es un punto geométrico dotado de masa; en la electricidad las cargas eléctricas puntuales son puntos geométricos con cargas eléctricas; los dipolos son puntos geométricos sin carga eléctrica, pero con un momento eléctrico, se obtienen como límites de un proceso dinámico en el que dos cargas eléctricas iguales pero de signos contrarios se van aproximando, de modo que sus cargas eléctricas van aumentando, pero permaneciendo constante el producto de la carga eléctrica por la distancia entre los puntos (el momento eléctrico), hasta llegar a confundirse los dos puntos en uno solo que no tendría carga (por tener dos cargas iguales infinitas pero de signo contrario), que tampoco tendría extensión, lo único que tendría el punto es un momento eléctrico. Lo mismo puede decirse de los dipolos magnéticos, y al igual que en el caso de los dipolos, dos superficies iguales con polos magnéticos puntuales iguales y opuestos que se aproximan hasta confundirse en una sola, de modo que el momento magnético puntual integrado a lo largo de la superficie es finito, se transforma en una hoja magnética, objeto físico muy importante que da origen a la teoría del potencial de doble estrato, esencial en la Física Matemática.

Cuando se dice que un punto no tiene partes o que no tiene extensión, se está transformando en estático un proceso dinámico que consiste en un segmento rectilíneo que se va haciendo cada vez más pequeño, se va desvaneciendo hasta desaparecer y entonces el resultado final de este proceso es el punto. Nos recuerda el pasaje de Alicia en el País de las Maravillas del gato que sonríe, que se va desvaneciendo hasta convertirse en una sonrisa sin gato, algo que no había visto nunca Alicia.

En la definición 4 de recta y en los postulados I y II se está pensando en la línea que trazamos en un papel con ayuda de una regla, que puede prolongarse cuanto se quiera y que no deja ningún agujero a lo largo de ella, que es la percepción visual de la continuidad. Cuando se dice que "se halla igualmente dispuesta con respecto a todos sus puntos", se quiere decir que no existen sobre ella puntos privilegiados, se está reconociendo implícitamente la igualdad de todos los puntos de la recta. De esta propiedad solamente gozan la recta y la circunferencia, pero las definiciones 4 y 15 las distinguen sin confusión. También la percepción visual nos indica que dos puntos cualesquiera pueden unirse por una sola recta.

Hasta que no aparecen los modelos euclídeos de geometrías no euclídeas, no se está en condiciones de distinguir entre dos cualidades de la recta que son su extensión y su longitud, la primera es la propiedad que tiene la recta de ser el soporte de puntos, y la segunda viene dada por la distancia entre dos puntos. Hoy podemos decir que la recta euclídea tiene extensión y longitud infinitas; la recta hiperbólica tiene extensión finita y longitud infinita, ambas son abiertas; la recta elíptica tiene longitud finita y extensión finita o infinita según el modelo, es cerrada.

Cuando se dice que la recta no tiene anchura, se quiere decir que si de una banda plana se suprime una recta paralela a los bordes de la banda, sigue teniendo la misma anchura. Lo mismo si se suprime un segmento rectilíneo, pero la topología ha cambiado, la banda ha dejado de ser simplemente conexa. Al decir que "se halle igualmente dispuesto con respecto a todas sus rectas", se quiere decir que no hay rectas privilegiadas, se proclama la igualdad de todas las rectas del plano. Esta propiedad la comparte el plano con la esfera. Lo que se ha dicho de las rectas euclídeas, elípticas e hiperbólicas se puede decir de los planos.

Al definir el círculo, definición 15 y postulado III se está visualizando lo que se puede dibujar sobre un papel con un compás cuya abertura puede modificarse. Pero de este postulado se han dado dos versiones diferentes, una en la que se dice "radio arbitrario" y otra en la que se dice "radio de cualquier distancia" que son muy distintas, la primera es más general, la segunda solamente vale para un espacio métrico, es más restringida.

Con esta definición de círculo se define una convergencia para las sucesiones de puntos del plano, pero no una topología. Para definir una topología sería necesario un postulado más:
· III bis. para todo círculo, en todo punto interior al mismo se puede trazar otro círculo, cuyo centro sea este punto, y cuyos puntos sean todos interiores al primer círculo.

Un conjunto abierto sería entonces, el que en todo punto del mismo como centro se pueda trazar un círculo contenido en el conjunto. Los círculos serían conjuntos abiertos (excluida la circunferencia).

Provistos de regla y compás, pero utilizando la regla para trazar rectas, no para medirlas o transportarlas, se pueden realizar muchas construcciones geométricas, pero ya los griegos se dieron cuenta de que otras muchas no pueden realizarse como son la duplicación del cubo (hallar un cubo cuyo volumen sea el doble de otro), la trisección del ángulo (dividir un ángulo en tres partes iguales), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado). Este último es el más importante, su imposibilidad se demostró por Lindemann en 1882, al demostrar que el número pí es trascendente. Los griegos utilizaron instrumentos mecánicos para realizar construcciones geométricas.

Mediante un movimiento un segmento rectilíneo se puede llevar a la recta soporte de otro segmento de modo que coincidan un extremo del primero con un extremo del segundo, y de este modo compararlos resultando que forman un conjunto totalmente ordenado que es un grupo aditivo porque los segmentos colineales se pueden sumar y restar, forman un conjunto denso, es decir que dados dos segmentos, existe siempre uno que es menor que uno de los dos anteriores y mayor que el otro; no existe un último elemento, porque por grande que sea un segmento existe otro mayor. Al ser denso se puede transformar en continuo completándolo con las cortaduras de Dedekind.

Multiplicar un segmento por un número natural n es sumar n veces el mismo. Multiplicarlo por -1 es cambiarlo de orientación, Dividir un segmento por un número natural n es hallar otro segmento que sumado n veces dé el anterior; esto último es una definición cuya existencia hay que probar, se puede hacer utilizando las propiedades de los triángulos semejantes que tienen un ángulo común.

Una vez definidas la multiplicación y división de un segmento por un número entero, queda automáticamente definida la multiplicación por un número racional. Por ser continuo el grupo de los segmentos, una vez definida la multiplicación por un número racional, se puede definir la multiplicación por un número real; si se postula que el grupo de los segmentos es arquimediano, lo que se hace mediante cortaduras de Dedekind. Resulta que el conjunto de los segmentos colineales forma un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. Los segmentos que resultan de multiplicar un segmento por un número racional cualquiera se llaman conmensurables, y si es por un número irracional se llaman inconmensurables.

Recíprocamente dados dos segmentos cualesquiera siempre uno de ellos es el producto del otro por un número real, y este último es el producto del primero por el número real inverso del anterior. Ello resulta de la teoría de las proporciones, de las funciones trigonométricas, de las propiedades de los triángulos semejantes que tienen un ángulo común, de la proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos. Se tiene que el cociente de dos segmentos es un número real, que es aquel por el que hay que multiplicar el denominador para obtener el numerador. Véase bibliografía.

Los griegos sabían que 2œ es el cociente de dividir la diagonal por el lado del cuadrado y que pí es el cociente de dividir la longitud de la circunferencia por el diámetro. Leonardo de Vinci medía la longitud de una circunferencia midiendo el recorrido sobre el suelo de una rueda que rodaba sobre el mismo, cuando daba una vuelta completa. Omar Jayyam (1048?-1122) y Nasîr-Eddîn (1201-1274) tenían ya una idea muy clara de que la razón de dos magnitudes conmensurables o no, es un número. Sobre el gran poeta y sabio persa Omar Jayyam cuenta el literato árabe moderno Amin Maalouf en "Samarcanda" que en su tratado de álgebra utiliza la palabra árabe shay, que significa cosa, para designar la incógnita; y que los árabes españoles en vez de shay escribían xay, lo que ha dado origen a la utilización abreviada de la x para designar a la incógnita.

A pesar de que Eudoxio de Cnido dicen que utilizó el axioma de Arquímedes (el V) como un lema, Euclides no lo enunció explícitamente, pero si hizo un uso implícito de él, y es que la existencia de las paralelas implica el axioma de Arquímedes, y sin axioma de Arquímedes no hay paralelas, al menos en mi opinión. De los postulados de Euclides y de las propiedades del grupo de segmentos no se deduce el axioma de Arquímedes, pero sí se puede demostrar a partir de la existencia de paralelas y de la proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos, porque de ellos se sigue que el producto de un segmento por un número natural variable llega a ser mayor que cualquier segmento por grande que sea.

De las propiedades anteriores del grupo aditivo de los segmentos se sigue una definición de punto, es el elemento neutro de la adición de segmentos.

Las operaciones con segmentos que hemos expuesto anteriormente se pueden realizar sin necesidad de definir una unidad, pero para las que vamos a definir ahora requieren definir una unidad que puede ser cualquier segmento escogido arbitrariamente. Son éstas el producto de segmentos, las potencias enteras (positivas y negativas), las raíces cuadradas, y las potencias semienteras.

La multiplicación de segmentos lleva a la noción de área, pero también de otras magnitudes como por ejemplo los momentos de inercia que aunque introducen otra magnitud, que es la masa, si son cuerpos homogéneos (de la misma densidad) se puede prescindir de la masa y se comportan como magnitudes geométricas. También los momentos de vectores son productos de segmentos, y como las fuerzas y las velocidades tienen carácter vectorial, los momentos de las fuerzas y los momentos cinéticos se representan por productos de segmentos. También las seis coordenadas de una recta (superabundantes, pues solamente hay cuatro independientes) que se utilizan en la geometría reglada, tres de ellas son las componentes de un vector, son segmentos, y las otras tres son las componentes del momento de un vector, son productos de dos segmentos.

Para la multiplicación de segmentos y para las potencias enteras se pueden utilizar las propiedades de los triángulos semejantes que tienen un ángulo común, o la propiedad que tiene la altura perpendicular a la hipotenusa de ser media geométrica de las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa; pero para las raíces cuadradas solamente la última. Véase bibliografía.

Escogido un segmento arbitrario como unidad, se puede definir una norma (longitud) sobre el espacio vectorial de los segmentos (como vectores) igual al valor absoluto del número real cociente del segmento al dividirlo por la unidad. El espacio vectorial de los segmentos es normado y los puntos del espacio euclídeo forman un espacio métrico siendo la distancia entre dos puntos igual a la norma del segmento que une dichos puntos. Al definir la multiplicación y división de segmentos queda definida una álgebra normada en el espacio vectorial normado de los segmentos. Véase bibliografía.

En el siglo XVII se produce una revolución en la geometría al crear Descartes (1596-1650) la geometría analítica que aplica los métodos del álgebra y del análisis a la geometría. Existen desde entonces netamente distinguibles, aunque a veces puedan actuar conjuntamente, dos métodos de hacer progresar la geometría: el analítico (el nuevo) y el sintético que no utiliza el cálculo. El empleo del análisis hace más rica la geometría porque introduce los puntos impropios (puntos del infinito) que están todos sobre la misma recta, la recta impropia (la del infinito), para poder manejarlos hay que utilizar coordenadas cartesianas homogéneas. Se introducen también figuras imaginarias, por ejemplo las intersecciones de una circunferencia y una recta exterior (no secante) son dos puntos imaginarios. Dos circunferencias cualesquiera se cortan en dos puntos reales, en un punto real doble (el de contacto) si son tangentes o en dos puntos imaginarios si son exteriores. Desde un punto interior a una circunferencia se pueden trazar dos rectas imaginarias tangentes a la circunferencia; si este punto es el centro las tangentes son las rectas isótropas, perpendiculares a sí mismas y más concretamente que forman consigo mismas un ángulo indeterminado. Todas las circunferencias cortan a la recta impropia en dos puntos fijos imaginarios que son los puntos cíclicos, las rectas que los unen con el centro de la circunferencia son las rectas isótropas. Se definen circunferencias y elipses imaginarias, que tienen aplicaciones físicas.

Aumenta el grado de abstracción de la geometría porque los elementos imaginarios no son visibles ni se pueden dibujar sobre el papel, pero se puede operar con ellos con la misma seguridad que con los reales, y obtener nuevas transformaciones geométricas y nuevas propiedades y teoremas, de modo que se pasa de lo real a lo imaginario y viceversa. Lo que no perciben los sentidos lo percibe la inteligencia. Otra consecuencia muy importante de la geometría analítica es el acceso al estudio de los espacios de n dimensiones (n>3).

El concepto de circunferencia y de esfera se generaliza sin dificultad a más de tres dimensiones y se obtienen fórmulas integrales que dan el área y el volumen de estas hiperesferas. Pero la generalización también puede hacerse en sentido descendente y así he definido el que he llamado bipunto (los dos extremos de un segmento). He extendido las nociones de área y de volumen de la hiperesfera al bipunto y he obtenido el número 2 y la longitud del segmento. Así mismo las he extendido al punto (circunferencia de una sola dimensión) y he obtenido para el volumen el número 1 y para el área la función singular delta de Dirac.

Hay veces que un cambio de definición de una figura o de una transformación geométrica lleva consigo una generalización y la obtención de nuevas propiedades. Así por ejemplo dos circunferencias se llaman ortogonales si se cortan en ángulo recto, pero si una de ellas es real y la otra es imaginaria (de centro real y radio imaginario) no está definido el ángulo con el que se cortan, pero se puede extender la definición de ortogonalidad anterior por la que le es equivalente de que el cuadrado de la distancia de sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios (el cuadrado del radio de una circunferencia imaginaria es negativo) y entonces si existen dos circunferencias, una real y otra imaginaria que son ortogonales, lo que no existen es dos circunferencias imaginarias ortogonales.

Dos circunferencias, una real y otra imaginaria, del mismo centro, son ortogonales si los valores absolutos de sus radios son iguales, porque la distancia de sus centros es nula. Con esta definición de ortogonalidad son ortogonales dos bipuntos que formen una cuaterna armónica. Una circunferencia de radio nulo es un punto y con la definición anterior de ortogonalidad, todo punto de una circunferencia es una circunferencia de radio nulo ortogonal a la anterior. Pero para admitir sin contradicción esta proposición hay que considerar la circunferencia de radio nulo como el límite de una circunferencia cuyo radio tiende a cero, de modo que esta circunferencia es una circunferencia tangente a un diámetro de la anterior en uno de sus extremos, por tanto que tiene su centro sobre la tangente a la anterior en el extremo del diámetro y cuyo centro se aproxima a lo largo de la tangente indefinidamente al punto de contacto (el extremo del diámetro) hasta confundirse con él. En este caso una circunferencia de radio nulo no es un concepto estático sino que es el resultado límite del proceso dinámico antes descrito. Las circunferencias de radio nulo y del mismo centro son ortogonales a sí mismas (son isótropas).

He definido la razón doble de dos circunferencias como la razón doble de los cuatro puntos de intersección de las dos circunferencias con su diámetro común, la cual es igual a -1 si las dos circunferencias son ortogonales. Esta definición generaliza el concepto de ángulo a dos circunferencia reales que no se cortan y a circunferencias reales e imaginarias. Esta razón doble es también la razón doble de las cuatro intersecciones de las dos circunferencias con una circunferencia cualquiera que sea ortogonal a las dos anteriores. La razón doble degenera en una razón simple de tres puntos si una circunferencia degenera en una recta. Generaliza el concepto de ángulo a bipuntos y es extensible a esferas. Es una nueva definición proyectiva de ángulo. Véase bibliografía.

Se puede aplicar un principio de inducción completa en la geometría euclídea de n dimensiones, demostrando que si un teorema o construcción geométrica es válido en un espacio euclídeo de n-1 dimensiones es válido para uno de n dimensiones. Así he podido demostrar (véase bibliografía) que:
· 1. el número máximo de esferas ortogonales dos a dos en un espacio euclídeo de n dimensiones es n+2, de la que una es imaginaria. Resultado válido también para la recta.
· 2. los centros de las n+1 esferas reales ortogonales son los vértices de un n+1-edro ortocéntrico de ortocentro interior (el ortocentro es el punto en el que se cortan las alturas).
· 3. el centro de la esfera imaginaria ortogonal a las anteriores es el ortocentro.
· 4. una cara cualquiera de este n+1-edro es un n-edro del espacio euclídeo de n-1 dimensiones, también ortocéntrico, en el que sus n vértices son los centros de n esferas reales, y su ortocentro el centro de una esfera imaginaria, ortogonales dos a dos.
· 5. la esfera sección por dicha cara de la esfera real cuyo centro es el vértice opuesto del n+1-edro, es una esfera imaginaria, la misma que la esfera sección por la anterior cara de la esfera imaginaria cuyo centro es el ortocentro del n+1-edro.

Se puede continuar este proceso de paso de un n+1-edro a un n-edro hasta llegar al tetraedro, el triángulo y la recta, figuras geométricas que nos son más familiares.

Los resultados anteriores permiten construir un n+1-edro ortocéntrico en un espacio euclídeo de n dimensiones. Así como todos los triángulos son ortocéntricos, no sucede lo mismo desde el tetraedro hacia arriba. En un n+1-edro ortocéntrico, los vértices y el ortocentro son n+2 puntos, de los cuales n+1 cualesquiera pueden considerarse como vértices y el punto restante es el ortocentro, de modo que existen n+2 distintos n+1-edros ortocéntricos obtenidos todos a partir de uno cualquiera de ellos, pero de todos estos solamente hay uno que tenga interior el ortocentro.

El V postulado de Euclides, el de las paralelas, tiene una singular historia, el propio Euclides y sus primeros comentaristas dudaron de si se trataba de un postulado o si se podía considerar una proposición demostrable, por lo que procuraron evitar, si era posible, en sus demostraciones el uso del V postulado y por esta razón todos los teoremas y construcciones que no requieren el uso del V postulado forman la geometría absoluta, mientras que los otros forman la geometría euclídea propiamente dicha.

Las geometrías no euclídeas clásicas parten de negar el V postulado y hay dos, una de ellas la hiperbólica, en la que por un punto se pueden trazar dos paralelas a una recta dada, y la elíptica en la que no existen rectas paralelas. Toda teoría científica tiene una historia y una prehistoria. La prehistoria de la geometría no euclídea nace en el siglo XVIII con Saccheri y Lambert y la historia en el siglo XIX con Lobatschewski y Bolyai.

Antes del siglo XVIII hay intentos fallidos de demostrar el V postulado, algunos de ellos muy ingeniosos. Es Saccheri (1667-1733) quien en su Lógica demostrativa y en "Euclides ab omnis naevo vindicatus" publicado el año de su muerte, utiliza una figura que no existe en la geometría euclídea, pero sí en la no euclídea, que es el cuadrilátero birrectángulo isósceles (en la geometría euclídea sería forzosamente un rectángulo), haciendo la hipótesis de que los dos ángulos no rectos, que son iguales sean un ángulo agudo, recto u obtuso. Entre otras importantes conclusiones llega a que según se verifique la hipótesis del ángulo agudo, recto u obtuso, la suma de los ángulos de un triángulo será menos, igual o mayor que dos rectos. Como es natural no consigue demostrar que el V postulado es verdadero, pero su obra es muy notable porque si bien considera que la hipótesis del ángulo obtuso es falsa (lo que no es verdad), no descubre contradicciones en la hipótesis del ángulo agudo y la niega por considerarla contraria a la naturaleza de la línea recta. Al no descubrir contradicciones en la hipótesis del ángulo agudo, se establece la duda muy razonable de que el V postulado sea indemostrable y que se pueda construir una geometría consistente negándolo. Saccheri estuvo muy difundido en el siglo XVIII, pero luego cayó en el olvido, hasta que Beltrami en 1889 en una nota en los Rendiconti de la Academia de Lincei, titulada "un precursor italiano de Legendre y Lobatschewski" lo volvió a colocar en su sitio, consiguiendo que su obra fuera traducida al inglés (1894), al alemán (1895) y al italiano (1904).

Lambert (1728-1777) en su "Theorie des Parallellinien" (1766), publicada en 1786 después de su muerte, utiliza una figura que es el cuadrilátero trirrectángulo, que tiene tres ángulos rectos y el cuarto a priori desconocido, el cual puede ser agudo, recto u obtuso. La hipótesis del ángulo recto conduce a la geometría euclídea, la del ángulo obtuso la rechaza (equivocadamente) y en la del ángulo agudo obtiene varias conclusiones importantes. Desde Saccheri y Lambert los precursores de la geometría no euclídea hasta los fundadores: Lobatschewski (1829) y Bolyai (1832) transcurre entre medio y un siglo. En este tiempo se sigue pensando y escribiendo sobre esta materia: D'Alambert (1736-1813), Legendre, Schweikart (1780-1859), Taurinus (1794-1874) con importantes resultados analíticos. De la relación de Gauss con la geometría no euclídea me he ocupado en otras ocasiones.

Indudablemente es Lobatschewski el verdadero creador de la geometría no euclídea y quien por primera vez le dio un gran desarrollo. El 11 de febrero de 1826 leyó una memoria en la Universidad de Kazán, donde por primera vez hace una exposición de su nueva Geometría, esta memoria no se publicó y el manuscrito se ha perdido. En 1829 publicó una memoria en "El Mensajero de Kazán", que es la primera obra larga e importante, de la geometría no euclídea, que él llamó imaginaria y que hoy llamamos hiperbólica. En los años treinta siguió publicando sobre esta materia y en 1840 publicó en alemán sus "Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas". Su última obra publicada en ruso y en francés, lo fue en 1855 y llevaba por título "Pangeometría", contiene una exposición muy completa de su nueva geometría.

Bolyai (1802-1860) independientemente de Lobatschwski, llegó a la misma nueva geometría; sus trabajos fueron publicados en forma de apéndice en el primer tomo de un libro de su padre Wolfgang, titulado "Tentamen..." en 1832.

En el momento de su descubrimiento la geometría no euclídea no llamó demasiado la atención, a pesar de su gran importancia y de la novedad y la originalidad de la misma, que iba en contra de nuestra intuición y experiencia física. A partir de los años sesenta del siglo XIX se despierta un gran interés por ella y se profundiza su estudio siguiendo dos grandes direcciones la de la geometría diferencial y la de la proyectiva. Gauss había profundizado mucho en el estudio de la geometría diferencial, señalando como toda superficie tiene una geometría intrínseca, que le es propia, independiente de la geometría del espacio en que está inmerso; es notable su obra de 1827 "Investigaciones generales sobre superficies curvas". Un paso decisivo en esta dirección lo dio Riemann que a partir de su discurso de habilitación para la Universidad de Göttingen en 1854 (Publicado en 1867) y de un trabajo sobre la conducción del calor presentado a un premio de la Academia de Ciencias de París, que no lo obtuvo, desarrolló la teoría de los espacios que llevan su nombre, espacios de n dimensiones, con una geometría diferencial propia en la que todas sus propiedades métricas están implícitas en el elemento lineal que es una forma cuadrática homogénea de las diferenciales de las coordenadas. A partir de ella se obtienen las geodésicas que son la distancia más corta entre dos puntos, y se introduce el concepto de curvatura, que será muy importante para la Relatividad de Einstein. Este concepto de curvatura, generaliza el que Gauss había introducido para las superficies.

Estaba latente el problema de encontrar, si es que existía, una superficie cuya geometría intrínseca fuera la del plano de Lobatschewski-Bolyai. Para ello era necesario encontrar superficies que puedan moverse con flexión, pero sin extensión, sobre sí mismas, como lo hace un plano, de modo que pueda definirse una igualdad entre figuras sobre la superficie, tal que figuras iguales se puedan superponer mediante un movimiento sobre la superficie. Para que dos superficies sean aplicables la una sobre la otra, la curvatura de Gauss ha de ser la misma en puntos homólogos (aplicados los unos sobre los otros). Minding demostró que si la curvatura es constante, la superficie puede moverse libremente sobre sí misma.

Beltrami en dos memorias publicadas en 1868 que llevan por títulos: "Ensayo de interpretación de la geometría no euclídea" y "Teoría de los espacios de curvatura constante" reconoció que las superficies de curvatura constante son planos no euclídeos; demostró que la geometría de una parte, pero sólo de una parte, del plano de Lobatschewski es la misma que la geometría intrínseca de la pseudoesfera, si las longitudes y los ángulos del plano no euclídeo se toman iguales a las longitudes y ángulos de las geodésicas de la pseudoesfera. Sobre ésta puede moverse una figura, de modo que solo con curvarla se puede ajustar a la superficie de la pseudoesfera. Es el primer modelo euclídeo de geometría hiperbólica (de Lobatschewski). La pseudoesfera es una superficie de curvatura constante negativa, es engendrada por la revolución de una tractriz alrededor de su asíntota, la tractriz es una curva para la que es constante la longitud de la tangente comprendida entre el punto de contacto y la asíntota, su evoluta es una catenaria.

Al demostrar Beltrami que podía representarse una parte del plano hiperbólico sobre la pseudoesfera, quedaba abierto el problema de si podía representarse el plano hiperbólico completo sobre alguna superficie de curvatura constante negativa.

Hilbert en 1901 mejorando un resultado anterior de Helmholtz que había demostrado que no existe ninguna superficie de curvatura negativa constante que puede extenderse en todas direcciones, demostró que no existe ninguna superficie analítica, regular por todas partes, sin singularidades y de curvatura negativa constante sobre la cual se verifique en su integridad el plano de Lobatschewski. Lo que contesta negativamente el problema abierto al final del párrafo anterior.

Saccheri y Lambert habían rechazado la hipótesis del ángulo agudo por considerar la recta infinita. Riemann sustituyó esta idea por la de recta ilimitada, afirmaba que "la propiedad del espacio de ser ilimitado posee, pues una certeza empírica... si se atribuye al espacio una curvatura constante positiva el espacio será necesariamente finito". Para Riemann el postulado que atribuye a una recta una longitud infinita, es tan discutible como el postulado de las paralelas, lo que para él es indiscutible es el espacio ilimitado. El plano (no euclídeo) elíptico lleva hoy también el nombre de Riemann, en él las geodésicas son cerradas, de longitud finita y se cortan todas. La idea de un universo curvo, finito pero ilimitado adquirió gran importancia con la Cosmología Relativista.

La otra línea de pensamiento que se siguió para la investigación de la geometría no euclídea fue el de la geometría proyectiva.

A esta dirección están asociados los nombres de Cayley (1821-1895) y Klein (1848-1925). Este último en 1871 (aunque publicado en 1874) distinguió entre dos clases de planos elípticos, que son el doblemente elíptico o esférico, y el simplemente elíptico. Un modelo del primero es la esfera en el que dos puntos no siempre determinan una recta (si son diametralmente opuestos) y un modelo del segundo es un hemisferio , que lleve incluido su frontera (el plano diametral), pero en él que deben identificarse como un solo punto, los dos puntos diametralmente opuestos de la frontera. Las líneas geodésicas son las semicircunferencias de los círculos máximos, que son curvas cerradas al identificase en un solo punto sus dos extremos, las distancias no euclídeas son los arcos de geodésicas medidos euclidianamente y los ángulos coinciden con los euclídeos.

Beltrami había reconocido que el plano elíptico podía representarse sobre una superficie de curvatura constante positiva y Liebmann en 1899 demostró que una superficie analítica, cerrada, libre de singularidades y de curvatura constante positiva necesariamente es una esfera.
Poincaré dio otros modelos euclídeos de geometrías no euclídeas, utilizó las propiedades del plano hiperbólico en sus investigaciones sobre las funciones automorfas, realizadas entre 1881 y 1884. Las funciones automorfas son funciones de variable compleja, invariantes para las transformaciones homográficas (de determinante igual a 1), de las que son casos particulares las funciones trigonométricas y las elípticas. Para Poincaré el hecho de poder construir modelos euclídeos de las geometrías elíptica e hiperbólica, hace que toda contradicción en ellas arrastraría una contradicción en la geometría euclídea, por lo que la consistencia de las tres geometrías está indisolublemente ligada. El V postulado de Euclides no es verdadero ni falso, puesto que tanto su afirmación como su negación conducen a geometrías distintas, que son coherentes y consistentes.

Otro modelo euclídeo de plano elíptico interesante fue dado por Klein, es la sección por un plano de una radiación de rectas y planos, asociado a la polaridad absoluta (ortogonal).

Laguerre (1834-1886) en 1853, a la edad de 19 años, dio la primera definición proyectiva de ángulo como proporcional al logaritmo de la razón doble de la cuaterna de rectas formada por los lados del ángulo y las rectas isótropas que pasan por el vértice del ángulo, es decir que proyectan desde este vértice los puntos cíclicos de Poncelet (el absoluto de Laguerre). Cayley y Klein, generalizaron este descubrimiento de Laguerre y subordinando la geometría métrica a la proyectiva, mediante el uso de formas cuadráticas de las coordenadas (que recuerdan las de Riemann de las diferenciales de las coordenadas), definieron la distancia y el ángulo como magnitudes proporcionales a logaritmos de razones dobles, sustituyendo los puntos cíclicos por un nuevo absoluto: una cónica en el plano y una cuádrica en el espacio. De modo que la distancia de dos puntos es proporcional al logaritmo de la razón doble de una cuaterna de puntos, formada por los dos puntos y las intersecciones de la recta que une los puntos con el absoluto; así mismo el ángulo de dos rectas es proporcional al logaritmo de la razón doble de una cuaterna de rectas, formada por los lados del ángulo y las tangentes al absoluto que pasan por el vértice del ángulo. Véase mi Geometría Analítica y Proyectiva.

A fines del siglo XIX surge un gran interés por los fundamentos de las Matemáticas y en particular de la Geometría euclídea. Pasch (1843-1931) en su curso sobre la nueva Geometría, cuya primera edición es de 1882 y que fue reeditada y revisada por Dehn (1878-1952) en 1926, es un pionero en esta nueva línea de buscar una axiomática, e introdujo un nuevo axioma que lleva su nombre y que se ha hecho célebre; afirma "sean A, B y C tres puntos no alineados y sea a cualquier recta del plano determinado por A, B, C, y que no pase por ninguno de estos tres puntos. Si a pasa por algún punto del segmento AB, también debe pasar por algún punto del segmento AC o por algún punto del segmento BC".

Es curioso que el axioma de Pasch que es tan perceptible, puesto que es imposible dibujar en un papel, cualquier que sea su tamaño, un triángulo en el que no se cumpla el axioma de Pasch, incluso en un triángulo degenerado en el que un vértice está en el infinito, no se haya formulado hasta fines del siglo XIX. En cambio la existencia de paralelas y el V postulado de Euclides, se formularon desde el principio, aunque para contrastarlo por la percepción visual se requeriría un papel de dimensiones infinitas.

En mis investigaciones sobre geometrías euclídeas y no-euclídeas en espacios que no sean simplemente conexos (conexión lineal o superficial) he encontrado triángulos no paschianos, en los que no se cumple el axioma de Pasch. Ver más adelante.

La obra maestra en este campo, aunque no la única son "Los fundamentos de la Geometría" de Hilbert, cuya primera edición es de 1899, fue reeditada y revisada varias veces hasta alcanzar la séptima edición en 1930. Voy a referirme a esta última, en ella Hilbert utiliza veinte axiomas que divide en cinco grupos: el primero consta de ocho, que son los de incidencia o conexión, que establecen el enlace entre los entes geométricos básicos: puntos, rectas y planos, que deja indefinidos. El segundo grupo consta de cuatro, que son los de ordenación, que definen el concepto de "estar entre" y ordenan los puntos sobre una recta; el cuarto axioma de este grupo es el de Pasch. El tercer grupo consta de cinco, que son los de congruencia, que definen el concepto de movimiento y establece la igualdad o congruencia de segmentos y ángulos, permite el transporte y la adición de segmentos y ángulos y comprobar su igualdad por superposición, y permite comparar entre sí la magnitud de los segmentos; define los ángulos rectos y su igualdad. El cuarto grupo consta de un solo axioma, que es el de las paralelas (el V postulado de Euclides), permite demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo vale dos rectos, y permite definir y probar la existencia de la circunferencia. El quinto grupo consta de dos axiomas, los de continuidad, son los de Arquímedes y el de la plenitud, para establecer una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, lo que para él demuestra la identidad de su geometría con la geometría analítica de Descartes.

En este libro, en el apéndice III, expone una axiomática del plano hiperbólico (plano de Lobatschewski-Bolyai) basado en cuatro grupos de axiomas. El primero formado por tres axiomas, que son los de incidencia y conexión, que son los tres primeros utilizados para la geometría euclídea; suprime los cinco siguientes, en los que interviene el plano. El grupo segundo son los mismos cuatro axiomas del grupo segundo de la geometría euclídea, incluido el axioma de Pasch. El grupo tercero también es el mismo de la geometría euclídea. El grupo cuarto está formado por un solo axioma, que sustituye al de las paralelas, que él llama de las rectas secantes y no secantes que afirma "Sea una recta cualquiera b y un punto A no situado en ella, existen siempre dos semirrectas a1 y a2 que pasan por A, que no constituyen una sola recta y que no cortan a la recta b, mientras que toda semirrecta que pasa por A, situada en el espacio angular formado por a1 y a2 corta a la recta b". Los axiomas de continuidad son necesarios.

El conjunto de los segmentos hiperbólicos es también continuo y arquimediano, pero cambia la definición de distancia que ya no es la longitud l del segmento sino que es RArg.Th(l/R) siendo R una constante, que es una unidad natural de medida que existe en la recta hiperbólica.

En la recta euclídea no existe ninguna unidad natural de medida. En el espacio euclídeo, éste es único pero existen en él figuras semejantes, por el contrario en el hiperbólico no existen figuras semejantes, pero si existen espacios semejantes, al variar el valor de R. La magnitud -1/R2 es la curvatura constante negativa del espacio hiperbólico.

En el siglo XVIII se estableció una trigonometría analítica en la que los ángulos son los argumentos de las funciones trigonométricas, que se expresan mediante funciones exponenciales de exponente imaginario, lo que permite su estudio a través de sus desarrollos en serie de potencias y de sus propiedades como soluciones de ecuaciones diferenciales. Esta teoría analítica es idéntica a la teoría geométrica en la que también puede basarse la trigonometría. No deja de ser esto un hecho sorprendente del comportamiento de la naturaleza.

En un grupo arquimediano en el que existe la división por un número natural, como operación inversa de la multiplicación, se demuestra que dados dos elementos a y b, siendo a menor que b, existe un número natural n, tal que b dividido por n es menor que a, porque en caso contrario no se cumpliría el axioma de Arquímedes. A este teorema propongo llamarle de la divisibilidad indefinida. Recíprocamente si en un grupo aditivo totalmente ordenado, en el que existe la división se cumple el teorema anterior, el grupo es arquimediano, porque se demuestra el axioma de Arquímedes como si fuera un teorema.

Los ángulos son los cocientes de dividir los arcos de una circunferencia por el radio, luego son números reales, que son mayores o iguales que cero y menores que 2*pí. Los ángulos se pueden sumar con una nueva definición de suma que es la siguiente: si la suma ordinaria de dos ángulos es menor que 2*pí, se toma la nueva suma igual a la ordinaria; si es igual o mayor que 2*pí, la nueva suma se toma igual a la suma ordinaria disminuida en 2*pí; en el primer caso la adición es compatible con la relación de orden (de los números reales) y en el segundo no. Los ángulos no forman grupo, sino un semigrupo con elemento neutro para la adición y en el que es válida la regla de simplificación que afirma que si a dos ángulos alpha y beta se les suma un mismo ángulo gamma y se obtienen dos ángulos iguales alfa+gamma y beta+gamma , entonces alfa es igual a beta. Los ángulos se pueden multiplicar y dividir por un número natural n. En el conjunto de los ángulos no vale el axioma de Arquímedes, pero si el de la divisibilidad indefinida.

Me parece que cualesquiera que sea la axiomática de la geometría euclídea, ha de conducir a una estructura del conjunto de los ángulos descrito en los párrafos anteriores y del conjunto de los segmentos a la estructura descrita en los párrafos anteriores a hablar de la geometría analítica.

Me parece que la axiomática de la geometría euclídea debe ser analítica y ésta conduce a obtener por el cálculo el V postulado de Euclides, el axioma de Arquímedes y el axioma de Pasch. La he desarrollado pero todavía no la he publicado.

Cuando se dice que el cociente de dos segmentos es un número real, se quiere decir que escogido un segmento arbitrario e como unidad , existe una biyección entre el conjunto de los segmentos delta y de los números reales R, tal que al segmento e le corresponde el número 1 y a cualquier otro segmento r le corresponde el número real definido por el cociente r/e. El cambio de unidad en delta se hace como el cambio de escala en un mapa. Se obtiene deltan a partir de delta como Rn a partir de R.

Cuando se dice que se pueden identificar los puntos de una recta D con los números reales (R) se quiere decir que existe una biyección de D sobre R, tal que a dos puntos arbitrarios A y B le corresponden los puntos 0 y 1, y a cualquier punto C de D le corresponde el número real r, definido por el cociente AC/AB, que llamamos abcisa de C; O es el origen de abcisas y AB el segmento unidad. Véase bibliografía.

En los axiomas (nociones comunes) de Euclides se emplean palabras que no tienen una significación exacta y precisa, tal es el caso de "añadir o sumar" y de "quitar o restar". Por ejemplo el axioma III, que ha sido empleado por otros muchos autores y se sigue usando, afirma que "Si a cosas iguales se restan cosas iguales, los restos son iguales", pues bien este axioma vale para segmentos y ángulos, en general para grupos aditivos y semigrupos aditivos en los que vale la regla de simplificación, pero el axioma III no es cierto en los semigrupos aditivos en los que no vale la regla de simplificación.

El espacio euclídeo habitual E es simplemente conexo, pero existen otros modelos de espacios euclídeos que no son simplemento conexos, dotados de una métrica distinta pero equivalente. Uno de ellos es el que he llamado (véase bibliografía) plano incompleto inversivo PI, que es un plano euclídeo desprovisto de un punto P, en el que los puntos son los mismos que los del plano euclídeo (excepto P) y en el que las rectas son las circunferencias y las rectas que pasan por P (excluido este punto P). Si se invierte este plano con centro en P y potencia cualquiera, se transforma en un plano euclídeo E, de modo que la distancia entre dos puntos de PI es igual a la distancia euclídea entre los dos puntos inversos, cuando se toma como potencia la unidad. Los ángulos son los euclídeos.

Los triángulos están formados por tres puntos cualesquiera de PI, que son los vértices, unidos por "rectas de PI" (arcos de circunferencias o partes de rectas que pasan por P) que son los lados. El PI tiene curiosas propiedades, no es paschiano, entendiendo por tal que hay triángulos para los que no se cumple el axioma de Pasch.

Los triángulos no paschianos (figura 1) son los que tienen los vértices A y C sobre una recta que pasa por P, y están separados por P; si B es el tercer vértice, los lados AB y BC son arcos de circunferencias que pasan por P, y el tercer lado es la recta APC, excluido el segmento AC. Por tanto las rectas que pasan por P, que son rectas de PI (excepto las rectas PB y AC) solamente cortan a uno de los lados AB o BC del triángulo, que por tanto no es paschiano.

(fig. 1)

Todos los puntos del infinito del palno euclídeo E se identifican en PI en uno solo (infinito). Las rectas de PI paralelas, son las circunferencias tangentes en P y la tangente a ellas en P. La distancia de cualquier punto de PI a P vale infinito. En la recta AC (figura 1) para ir de A a C o de C a A no se puede hacer a través de P, sino a través de infinito de modo que el punto M "está entre A y C" a pesar de estar en la figura fuera de AC.

(fig. 2)

Los triángulos que tienen los lados que son rectas que pasan por P tienen el extraño dibujo de la figura 2. Un lado AB es el arco de la circunferencia que pasa por P y los otros dos lados son la parte AC (C=infinito) y BC de las rectas PA y PB, siendo el punto C, tercer vértice del triángulo ABC el único punto del infinito de PI.

Las circunferencias SIGMA de PI y delta (figuras 3 y 4) se dibujan como circunferencias euclídeas y rectas euclídeas que no pasan por P. Si AB es el diámetro de la circunferencia euclídea (figura 3) SIGMA, si C es el punto P de PI, entonces el centro de la misma circunferencia SIGMA del PI, es el conjungado armónico D de C respecto a A y B, que es en el PI el "punto medio" de AB (mientras que el punto medio de AB es el centro euclídeo de la circunferencia euclídea). Los diámetros en el PI de SIGMA son los arcos interiores a SIGMA de las circunferencias que pasan por D y C (punto P del PI). El círculo es el interior de SIGMA.

(fig. 3)

(fig. 4)

Si el punto P del PI (figura 3) es ahora el D, interior a SIGMA, entonces el centro de SIGMA de PI es el punto C exterior a SIGMA y los diámetros son los arcos exteriores a SIGMA de las circunferencias que pasan por C y D (ahora el punto P del PI). El círculo es el exterior de SIGMA, C y D y exterior e interior de SIGMA permutan sus papeles.

Hay pues casos en que el punto medio de un segmento (el conjugado armónico de P respecto a los extremos del segmento) está fuera del segmento, pero equidista de sus extremos. Y también de que el centro de una circunferencia sea exterior a la misma, pero equidista de ella. Esto va en contra de la definición 16 de centro de un círculo de Euclides, pero no contra la definición 15 de circunferencia, lo que se ha cambiado es la definición de distancia.

Una recta euclídea es también una circunferencia delta de PI (figura 4), porque las circunferencias de PI son las inversas de las circunferencias de E. Las rectas son inversas de las circunferencias que pasan por P por tanto son circunferencias de PI. Dada la circunferencia SIGMA de diámetro PA tangente a AB en A, si tomamos como centro de inversión P y como potencia de inversión PA2 , la circunferencia de diámetro PA se transforma en la recta AB, que es una circunferencia delta de PI, cuyo centro es el inverso del centro de SIGMA, por tanto es un punto O, tal que PA=PO y los diámetros los arcos de las circunferencias que pasan por P y O contenidos en el semiplano a la derecha de AB que es el círculo. Si se aplica la métrica de PI para el cálculo de la longitud de delta y del área del círculo (semiplano a la derecha de AB) se obtienen la longitud y el área de SIGMA. Cualquier área del semiplano a la derecha de AB limitado por dos paralelas a AB tiene un área finita, lo que va contra el axioma IX de Euclides.

Como curiosidad señalamos que la recta AB en la figura 2 es la circunferencia del PI circunscrita al triángulo ABC (C=infinito).

Al suprimir el punto P del PI en cualquier circunferencia, la ordenación es como la de una recta, es decir, que dados tres puntos cualquiera, uno de ellos está entre los otros dos, mientras que si no se hubiera suprimido el punto P, cualquiera de los tres puntos anteriores estaría entre los otros dos.

Lo anterior se extiende a cualquier número de dimensiones. A partir de tres dimensiones al suprimir un punto P, el espacio sigue siendo simplemente conexo para la conexión lineal, pero no lo es para la conexión superficial en el caso de tres dimensiones; sería similar al que resulta de suprimir toda una esfera, o al que hay en el interior de una corona esférica.

De la proyección inversa de la estereográfica de una esfera, un plano euclídeo E o un plano inversivo PI dan modelos con distinta métrica, de estas geometrías, al suprimir el centro de proyección de la esfera. El modelo inversivo es también el inducido sobre una esfera que pasa por el punto P, por el espacio inversivo incompleto.

Las exposiciones abstractas de las geometrías hiperbólica y elíptica no permiten dibujar sobre el papel las figuras y construcciones de las mismas, ni plasmarlas en el espacio. Si observamos las figuras que hay en los textos, como en el apéndice III de "Los fundamentos de la Geometría" de Hilbert son solamente ilustrativas para facilitar el entendimiento del razonamiento, pero en sí no tienen contenido real, pueden ser sustituidos por otros cualquiera; concretamente en la que utiliza para enunciar el axioma de las rectas secantes y no secantes, las dos semirrectas que utiliza se unen en un punto de retroceso, cuando la recta es una curva contínua y diferenciable. La existencia de modelos euclídeos de geometrías no euclídeas permite dibujar sobre el papel propiedades y relaciones entre los entes no euclídeos y utilizando los métodos de la geometría descriptiva se pueden representar sobre el papel los sólidos no euclídeos. Por ejemplo el cálculo abstracto de los sentidos (propiedad física de las rectas hiperbólicas) se puede concretar en un cálculo geométrico euclídeo concreto, que he desarrollado y aplicado a la Cinemática de la Teoría de la Relatividad.

Para definir un modelo euclídeo de un espacio hiperbólico o elíptico es necesario definir la métrica lineal (la distancia) mediante el elemento lineal dr, lo que determina sus geodésicas o distancias más cortas entre dos puntos (las rectas no euclídeas), y la métrica angular es decir el coseno (o el seno) del ángulo de dos geodésicas que se cortan en un punto; y así mismo si el espacio euclídeo soporte es todo el espacio euclídeo o un subespacio, o una superficie euclídea o parte de la misma (esfera, pseudoesfera, ultimamente he utilizado el hiperboloide de revolución para aplicarlo a la Cinemática Relativista). Se impone la condición de que dos puntos determinen una recta, tres puntos determinen un plano. El modelo puede tener más de tres dimensiones.

Vamos a considerar algunos de estos modelos sobre los que he investigado. De estos unos son simplemente conexos y otros no (sea para una conexión lineal o superficial). Son modelos de dos a n dimensiones.

En el modelo H1 del plano hiperbólico (simplemente conexo), conocido de antiguo, las geodésicas son arcos de circunferencias ortogonales a una circunferencia fija SIGMA (incluidos los diámetros) interiores a la misma, que actúa como frontera, es el conjunto de los puntos a distancia infinita. Los centros de las geodésicas son exteriores a SIGMA. Los ángulos son los euclídeos, y la métrica da una representación conforme de H1 sobre el espacio euclídeo. Para definirlos en n dimensiones hay que sustituir la circunferencia SIGMA por una esfera de n dimensiones. En el caso de tres dimensiones los planos no euclídeos son los casquetes interiores a la esfera fija SIGMA, de las esferas ortogonales, y los círculos de los planos diametrales de SIGMA que están sobre SIGMA. Las rectas no euclídeas (las geodésicas) son las intersecciones de los planos no euclídeos. He podido construir una geometría reglada hiperbólica en la que las coordenadas de una recta son seis; las tres coordenadas carterianas del centro de la circunferencia euclídea soporte de la recta hiperbólica (a, b, c) y las tres coordenadas pluckerianas (u, v, w) del plano diametral en que está situada, pero de estas seis coordenadas solo hay cuatro independientes, porque las tres u, v, w son homogéneas, pueden ser sustituidas por números proporcionales, y además existe una relación bilineal entre las seis coordenadas por estar el punto (a,b,c) sobre el plano (u,v,w), que es que la suma de los tres productos ua+vb+wc es igual a cero.

En H1 juega un papel muy importante la inversión que suele dejar invariante el espacio o transformarlo en otro semejante. Mientras que en el espacio euclídeo E hay figuras semejantes, pero no hay dos espacios semejantes, por ser único el espacio; en H1 sí cabe la existencia de espacios semejantes, hay la posibilidad de una pluralidad de mundos, pero dentro de un mismo H1 no hay figuras semejantes. Si el radio R de SIGMA tiende a infinito H1 tiende a E, y si R tiende a cero, H1 tiende a desaparecer.

En H1 existen figuras imaginarias, en el caso del plano hiperbólico son rectas no euclídeas imaginarias, las circunferencias imaginarias ortogonales a SIGMA (cuyos centros son interiores a SIGMA), lo que me ha permitido desarrollar una trigonometría de los triángulos imaginarios y de los cuadriláteros completos imaginarios, existiendo rectas reales antiparalelas respecto a un ángulo imaginario y rectas imaginarias antiparalelas respecto a un ángulo real.

Mediante una inversión que deje invariante SIGMA se puede transformar cualquier punto A de H1 en su centro O, y O se transforma en A. Si consideramos la inversión anterior como una transformación de coordenadas, H1 goza de la propiedad que he propuesto llamar isotópica que consiste en que a cualquier observador situado en cualquier punto A de H1 le parece ver H1 igual, incluso si a O le parece que A está a su derecha o encima, a A le parece que es O quien está a su derecha o encima.

He podido demostrar que así como en el plano no hay circunferencias imaginarias ortogonales, por el contrario en el espacio sí hay circunferencias imaginarias e incluso de radio cero ortogonales a una circunferencia imaginaria.

Mediante una inversión de centro O (centro de SIGMA) y potencia R2 (R radio de SIGMA) el modelo hiperbólico H1 se transforma en el H2, que no es simplemente conexo, del que no pueden coexistir más de uno, a diferencia de lo que sucedía con H1. Dados un H1 y un H2 con la misma frontera SIGMA, que los separa, existe una biyección entre ambos, en la que los puntos homólogos, son dos puntos inversos en la antecitada inversión. Las rectas no euclídeas en H2 son los arcos de las circunferencias ortogonales a SIGMA, exteriores a SIGMA y las rectas soportes de los diámetros de SIGMA excluida la parte interior a SIGMA (el diámetro).

Existen triángulos parecidos a los de las figuras 1 y 2 como en PI, se diferencian en que las circunferencias en vez de pasar por P son ortogonales a una circunferencia de centro P (la SIGMA de esa figura). Tampoco se cumple el axioma de Pasch para todos los triángulos, hay triángulos no paschianos. En H2 para ir de algunos puntos a otros hay que rodear SIGMA, no se puede penetrar en SIGMA.

Una diferencia topológica entre H1 y H2 es que en la primera las circunferencias no euclídeas, se representan por circunferencias euclídeas interiores a H1 con una definición distinta de centro, radio y diámetros, mientras que en H2 , las circunferencias no euclídeas, cuya imagen rodea a SIGMA, tienen su centro fuera de ella, su dibujo es parecido al de la figura 3, pero los diámetros en vez de ser las circunferencias que pasan por D (el punto P del PI) son ortogonales a una circunferencia de centro en D (la SIGMA de esa figura). También son circunferencias no euclídeas las partes de las rectas que no cortan a SIGMA, exteriores a SIGMA. Ello es debido a que las circunferencias de H2 son las inversas respecto a O (centro de SIGMA) de las circunferencias de H1 , con potencia R2 (R radio de SIGMA) y por tanto las circunferencias que pasan por O (interiores a SIGMA) se tranforman en esta inversión en rectas no secantes a SIGMA. En la figura 5 se ha representado una de éstas, la circunferencia que pasa por O (interior a SIGMA) se transforma en esta inversión en la recta d, circunferencia no euclídea de H2 , cuyo centro es el punto C (inverso del centro de la circunferencia de diámetro OA), y los diámetros son los arcos de las circunferencias ortogonales a SIGMA que pasan por C y están en el semiplano a la derecha de delta.

(fig. 5)

Si en los modelos anteriores se sustituye SIGMA por una circunferencia (o una hiperesfera en caso de n dimensiones) imaginaria, es decir, se cambia R por iR (R2 por -R2 ) se tienen los modelos del plano (o del espacio) elíptico E1 y E2 , el segundo no es simplemente conexo. En ellos no existen paralelas ni figuras imaginarias, pero sí existen triángulos conjugados reales, cosa esta última que no existe en H1 y H2 ; PI, H2 y E2 ,están en la misma relación con E, H1 y E1 respectivamente.

He realizado el cálculo de la métrica finita y diferencial angular que en el caso de tres dimensiones establece las relaciones en un triedro entre los ángulos de las aristas y los ángulos diedros de las caras, que es sumamente curiosa.

En E1 como en H1 si R tiende a cero, tienden a desaparecer (a transformarse en un punto y si R tiende a infinito tienden al espacio euclídeo). En E2 como H2 si R tiende a infinito, tienden a desaparecer y si R tiende a cero tienden al plano o al espacio inversivo incompleto. Por esto a estos espacios les podemos llamar de curvatura infinita, porque -1/R2 es la curvatura del espacio.

En H1 los arcos interiores a SIGMA de las circunferencias secantes a SIGMA son las equidistantes, mientras que los arcos exteriores son las equidistantes de H2 . En el espacio euclídeo las rectas paralelas son equidistantes y recíprocamente si dos rectas son equidistantes son paralelas. En el plano hiperbólico las rectas paralelas no son equidistantes, la curva equidistante de una recta, no es una recta. Las equidistantes de una recta no euclídea en H1, son las circunferencias que cortan a SIGMA en dos puntos que pertenecen a la recta no euclídea; entre las equidistantes está la cuerda de SIGMA determinada por la circunferencia ortogonal a SIGMA imagen de la recta no euclídea, así como por todas sus equidistantes.

Las circunferencias tangentes a SIGMA, son las circunferencias de radio infinito (horiciclos). En el caso de tres dimensiones son esferas tangentes a la SIGMA y la geometría inducida en ellas por la geometría de Lobatschewski es la geometría euclídea. Si son interiores a SIGMA pertenecen a H1 y si son exteriores a H2 .

Mediante una oportuna transformación geométrica H1 y H2 se transforman conjuntamente en un modelo H3 en el que existe una circunferencia (o esfera fundamental) que es la misma SIGMA anterior y las rectas (o planos) no euclídeos son las cuerdas de SIGMA (o los círculos de SIGMA) con una métrica distinta de H1 y H2 . En este modelo los puntos imaginarios están sobre las rectas reales exteriores a SIGMA, interiores a sus intersecciones imaginarias con SIGMA. Se da la circunstancia de que el soporte de los puntos imaginarios es una recta real, mientras que en H1 y H2 el soporte de los puntos imaginarios es una circunferencia imaginaria de centro real y radio imaginario. Es un modelo que es simplemente conexo. Lo mismo sucede con E1 y E2 que se transforman en un modelo E3 de espacio elíptico (también simplemente conexo) en el que las rectas (o planos) no euclídeos son rectas o planos euclídeos. En estos espacios H3 y E3, el papel que jugaba la inversión en los anteriores, lo juegan las homologías.

Otros dos modelos H4 y H5 de espacios hiperbólicos y E4 y E5 de espacios elípticos (figura 6) los he obtenido sobre la superficie de una esfera S. Si la cortamos por un plano AB (que contiene a la recta AB y a la perpendicular al plano del papel) S queda dividida en dos casquetes I (superior) y II (inferior) por el plano AB. Si cortamos S por planos que pasan por P (polo del plano AB) se obtiene una circunferencia con un arco en I (modelo H4) y otro en II (modelo H5) que son modelos del plano hiperbólico con una métrica conveniente sobre S; entre cuyos puntos existe una biyección, la de los puntos alineados con P. Estos arcos de circunferencias son las rectas no euclídeas.

(fig. 6)

Si proyectamos desde D (en el diámetro PQOD, O es el centro de S) el casquete I superior sobre el plano tangente en C (proyección estereográfica), obtenemos el modelo H2, y si proyectamos el casquete II inferior obtenemos el modelo H1, lo contrario sucede si la proyección la hacemos desde C sobre el plano tangente a S en D. Las secciones por el plano AB de los planos que pasan por P dan el modelo H3. Las anteriores transformaciones geométricas dan las relaciones entre puntos homólogos de los modelos H1 a H5. En H4 y H5 las rectas imaginarias son las circunferencias imaginarias intersecciones de S con los planos que pasan por P exteriores a S y por tanto al cono circunscrito a S desde P.

Si en las operaciones anteriores se sustituye el punto P por el Q se obtienen sobre los casquetes I y II los modelos E4 y E5 del plano elíptico sobre S. Las proyecciones estereográficas desde D y C dan los modelos E2 y E1, y las intersecciones de los planos tangentes en D o C a S con los planos que pasan por Q dan el modelo E3.

A esta teoría la he llamado de las n-esferas incompletas. Hay dos casos particulares que ya eran conocidos, un modelo de Poincaré cuando P está en el infinito y el clásico del plano de Riemann cuando Q coincide con el centro O de S.

Los ángulos en los modelos H4, H5, E4, E5 son los euclídeos.

Cuando P está sobre S las intersecciones de S con los planos que pasan por P, con una métrica conveniente dan un modelo del plano euclídeo y la proyección estereográfica desde el punto de S diametralmente opuesto a P da un modelo del plano inversivo.

Las métricas en H4, H5, E4 y E5, y en el caso del párrafo antrior las he calculado.

En todos los casos no se cumple el axioma de Pasch en las geometrías euclídea y no euclídea (elíptica o hiperbólica) sobre espacios que no sean simplemente conexos, bien sea la conexión lineal o superficial, porque existen triángulos no paschianos.

Como hemos dicho anteriormente Hilbert en "Los fundamentos de la Geometría" ha dado la axiomática de la geometría euclídea y del plano hiperbólico, pero no la del elíptico. En mi opinión solamente es válida para espacios simplemente conexos.

Como en el plano elíptico no se cumple el axioma de Arquímedes y no existen rectas paralelas, en mi opinión se puede establecer la axiomática del plano elíptico de la siguiente manera:

son válidos:
- los axiomas de enlace, de ordenación y de congruencia de Hilbert para el plano hiperbólico.
- no son válidos ni el V postulado de Euclides ni el axioma de las rectas secantes y no secantes de Hilbert. Hay que sustituirlos por el siguiente axioma: "dos rectas cualesquiera se cortan en un punto".
- no es válido el axioma de Arquímedes, hay que sustituirlo por el axioma de la divisibilidad indefinida. Es válido el axioma de continuidad de la plenitud.

En otras ocasiones, al tratar de lo que he llamado función s(x) y j(x), he hablado de la crisis del principio de identidad. Pero también el principio de identidad, así como el principio de igualdad por superposición o encaje entran en crisis en la geometría hiperbólica. Frente a los procesos de límite que tienen lugar sin memoria, en los que una vez alcanzado el límite, se borra el proceso por el que fue alcanzado, existen otros procesos de límite en los que el comportamiento del límite depende de la historia de su proceso.

Aclaremos el párrafo anterior con un ejemplo. En el modelo H1 un punto en el círculo SIGMA, es tal que si dos puntos están superpuestos son idénticos y la distancia entre ellos es cero; pero si un punto está en la circunferencia frontera de SIGMA, está a distancia infinita de cualquier punto del círculo SIGMA, por pequeña que sea la distancia euclídea que los separa. Si dos puntos están superpuestos en la circunferencia frontera de SIGMA, aunque están encajados el uno en el otro, no son totalmente idénticos, y están a una distancia finita, que es una indeterminación del tipo infinito-infinito, que hay que calcular, igual, aunque de manera distinta, a como en Análisis Matemático se levanta una indeterminación de infinito-infinito por la regla de L'Hôpital.

Por ejemplo una recta no euclídea D y una de sus equidistantes GAMMA, son en los modelos H1 y H2, dos circunferencias (la D ortogonal a SIGMA) que se cortan en dos puntos de SIGMA; si A es uno de estos puntos considerado de D es distinto de considerado de GAMMA, aunque estén superpuestos, su distancia es igual a la distancia constante que separa a D de GAMMA a lo largo de todo su recorrido. El punto A se puede alcanzar como punto límite en dos movimientos en los que un móvil recorre D y otro recorre GAMMA permaneciendo equidistantes en todo el movimiento, y así quedan al alcanzar su misma posición límite A sobre SIGMA; se conserva la memoria de como se ha alcanzado esta posición límite, se recuerda su historia. El concepto del punto límite A es dinámico y no estático y entonces la superposición no significa igualdad. Lo anterior va en contra del axioma IV de Euclides que afirma "cosas que encajan cada una en la otra son iguales", axioma admitido en nuestros días.

Las equidistantes se manejan bien en H1 y H2 porque son circunferencias que pueden degenerar en cuerdas, mientras que en H3 son elipses bitangentes a SIGMA, equidistan de la cuerda de SIGMA (recta no euclídea) que une los dos puntos de contacto de cada elipse con SIGMA.

H3 tiene muchas aplicaciones a la Teoría de la Relatividad. A la magnitud de la velocidad que resulta de componer dos velocidades coplanarias según la fórmula de Einstein, le he dado una forma intrínseca que es válida en cualquier número de dimensiones. Aplicada a dos velocidades infinitamente próximas, me ha permitido calcular el elemento lineal (el dr) del espacio de las velocidades relativistas, que es un espacio hiperbólico H3, y como las velocidades han de ser inferiores a un límite (la velocidad de la luz en el vacío) me permite construir una mecánica estadística relativista, que se desvía significativamente de la estadística clásica, para temperaturas muy altas, como por ejemplo las que reinan en el interior de algunos astros o de sus explosiones.

He dado una forma intrínseca a la composición vectorial de velocidades relativistas en dos dimensiones, que se puede generalizar a n dimensiones, y aplicada a dos velocidades infinitamente próximas, he definido lo que he llamado diferencial de Einstein-Lobatschewski, denotada por Dv, que goza de la propiedad de que el producto escalar Dv·Dv es igual al dp2 del espacio hiperbólico, así como el producto escalar dv·dv es igual al dp2 del espacio euclídeo, cuando dv es la diferencial ordinaria de un vector.

Las fórmulas anteriores son válidas en un espacio de Hilbert, así es que se puede investigar un espacio de Hilbert-Lobatschewski, y juntamente a este espacio de Hilbert hiperbólico existe también otro elíptico.

Muchas gracias a la Universidad Politécnica de Valencia por haberme nombrado Doctor Honoris Causa y a todos Vds. por haberme acompañado en este acto.