Manuel Valdivia Ureña

Molt Honorable Senyor,
Magnífic i Excel·lentíssim Senyor,
Excel·lentíssims i il·lustríssims senyors,
Senyors claustrals,
Senyores i senyors:

Em referiré a alguns aspectes de les matemàtiques, allunyats sens dubte de l'ensenyament convencional, però molt importants i extraordinàriament atractius des de punts de vista intel·lectuals i estètics.

Sempre he sentit a dir que la matemàtica és no sols ciència sinó també art i que enclou un tipus de bellesa de la qual participa també la poesia. Per aquesta raó citaré unes paraules que el poeta granadí Federico García Lorca va escriure dirigint-se a Gerardo Diego. Deia el següent: "Però què diré de la poesia? Què diré d'aquests núvols, d'aquest cel? Mirar, mirar-los, mirar-los, i res més. Heu de comprendre que un poeta no pot dir res de la poesia. Això és; mira. Jo tinc el foc a les mans. L'entenc i el treballe perfectament, però no puc parlar del foc sense literatura. No puc parlar de la meua poesia. I no perquè siga inconscient del que faig. Al contrari, si és veritat que sóc poeta per la gràcia de Déu -o del dimoni- també és veritat que ho sóc per la gràcia de la tècnica i de l'esforç, i d'adonar-me en absolut del que és un poema".

Respecte a les matemàtiques, alguns han sentit una cosa anàloga al que expressa García Lorca en relació amb la poesia, raó per la qual han pretés esbrinar què és el que manejaven, per això, al llarg de molts anys, s'han intentat aclarir bé els fonaments de les matemàtiques. D'altra banda, i al fil del que diu García Lorca respecte a la necessitat de la tècnica, he de dir que el treball en matemàtiques exigeix a vegades un esforç considerable. Fins i tot cal adquirir prèviament hàbits mentals específics, i encara més, la meua experiència em diu que els coneixements arriben a ser realment clars quan s'incorporen a la pròpia vida. El mateix sentit del rigor pareix que no és una cosa natural a l'home. Poincaré deia que el rigor en matemàtiques necessita aprenentatge. Un pot plantejar-se la qüestió de si l'esforç per a adquirir uns certs coneixements o aconseguir determinats resultats pot ser desproporcionat. Bertrand Russell, en la seua Autobiografia , denomina el període en què es va dedicar més activament a la lògica matemàtica la seua lluna de mel intel·lectual; però, en contrapartida, manifesta que va abandonar les matemàtiques perquè no se sentia amb ànim per a fer un treball tan dur.

Quan es fa referència als fonaments de les matemàtiques, cal citar els denominats Elements d'Euclides que ocupen un dels primers llocs entre els llibres que s'han escrit al llarg de tots els temps. És el gran monument de l'intel·lecte grec, més important que les aportacions amb què van contribuir els grecs a la literatura o a la filosofia. La base de tota la nostra matemàtica pot dir-se que es troba en els Elements d'Euclides.

Euclides va ser director del famós Museu d'Alexandria quan Egipte estava governat per Ptolemeu I i va publicar la seua obra, anomenada posteriorment Elements d'Euclides, als trenta anys, l'any 300 abans de Crist.

En els Elements s'inicia el mètode axiomàtic, que tanta importància i repercussió ha tingut i té en la denominada matemàtica moderna. Pot dir-se que Euclides va ser el sistematitzador de quasi tots els resultats matemàtics coneguts en el seu temps; els va ordenar d'una manera magistral en un sistema deductiu i va demostrar a partir de poques propietats geomètriques simples, evidents per si mateixes i que no necessiten proves, segons l'esperit de l'època, totes les altres com a conseqüències lògiques de les primeres.

Els Elements d'Euclidesestan formats per tretze llibres, tres dels quals contenen l'aritmètica i els altres la geometria. S'hi arrepleguen moltes investigacions dels pitagòrics dels segles IV i V aC, com les d'Hipòcrates de Quíos, Èudox i Taetetus. Per aquesta raó voldria dir unes quantes paraules sobre Pitàgores i els pitagòrics. En realitat, Pitàgores va ser una persona molt important des del punt de vista intel·lectual, de gran influència tant en els temps antics com en els moderns. Amb ell comencen les demostracions en matemàtiques i els arguments deductius-demostratius. Pitàgores va nàixer a l'illa jònica de Samos, davant de Milet, i va tenir la seua època florent cap a l'any 530 aC. Des del 535 aC fins al 515 aC Samos va ser governat pel tirà Polícrates, que mancava totalment d'escrúpols morals: tenia fins i tot una flota que es dedicava a la pirateria; no obstant això, va patrocinar l'art i entre els seus beneficiats hi havia el famós poeta Anacreont. Pitàgores, que no estava d'acord amb la conducta de Polícrates, va abandonar Samos, va visitar Egipte i, finalment, es va establir a Crotona, en el que avui és el sud d'Itàlia, la Magna Grècia. L'any 515 aC Polícrates, enganyat pels perses, va ser capturat i, seguint un costum de l'època, crucificat.

A Crotona, Pitàgores va fundar una societat on tant ell com els seus deixebles es van dedicar a la filosofia i la matemàtica; la propietat era comuna i els descobriments científics també. Pitàgores solia mesclar el misticisme amb la ciència; ell creia en la transmigració i immortalitat de l'ànima, i afirmava que la purificació més gran s'obté dedicant-se a la ciència desinteressada, i l'home que així ho fa pot alliberar-se, d'una forma més eficaç, de la roda del naixement.

Un descobriment important de Pitàgores, o d'algun dels seus deixebles, va ser la proposició matemàtica que afirma que, en un triangle rectangle, l'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre cadascun dels catets. Ja els egipcis coneixien que el triangle els costats del qual tenen longituds 3, 4 i 5 posseeix un angle recte; però van ser els grecs els primers a observar la igualtat 32 + 42 = 52 i, probablement, inspirats per aquesta, van assolir la proposició general que hem esmentat i que es denomina teorema de Pitàgores.

Com he dit abans, els pitagòrics van introduir en matemàtiques els arguments de caràcter deductiu, que són essencials en l'exposició i el desenvolupament d'aquesta ciència: tot matemàtic és conscient que on s'aprenen vertaderament matemàtiques és en les demostracions de teoremes.

Un dels matemàtics més grans de l'antiguitat va ser el pitagòric Arquites de Tàrent (440-360 aC), digne predecessor d'Arquimedes, que va aplicar la geometria a la mecànica i construí mecanismes anàlegs als que més tard van servir a Arquimedes per a la defensa de Siracusa. Tots els grecs posteriors que van tenir veu en matemàtiques van ser, directament o indirectament, deixebles seus. Es deu a Arquites una solució molt enginyosa del famós problema de la duplicació del cub, que, segons la tradició va ser plantejat de la manera següent: uns sacerdots d'un temple erigit a Apol·lo a l'illa de Delos van ser informats per l'oracle que el déu volia que l'altar, que tenia forma cúbica, es canviara per un altre el volum del qual fóra el doble. En un principi, van pensar duplicar les longituds de totes les arestes, però van veure que el volum era vuit vegades més gran, per la qual cosa es van adreçar als matemàtics. El problema es va plantejar llavors de dues manera diferents. La primera consisteix en el següent: coneguda l'aresta d'un cub, es tracta de construir, emprant com a instruments de dibuix només el regle i el compàs, un segment que siga l'aresta d'un cub en què el volum siga el doble del primer. En la segona, que va resoldre Arquites, no era necessari restringir-se al regle i al compàs.

Altres problemes clàssics, històricament importants són la quadratura del cercle i la trisecció de l'angle. La quadratura del cercle consisteix a, donat un cercle en el pla, construir a partir d'aquest, i usant només el regle i el compàs, un quadrat l'àrea del qual coincidisca amb l'àrea del cercle. En la trisecció de l'angle, es tracta de dividir un angle donat en tres angles iguals usant només el regle i el compàs.

La duplicació del cub, la quadratura del cercle i la trisecció de l'angle no es poden fer usant només el regle i el compàs, però a aquesta conclusió negativa es va arribar al segle XIX, després de més de dos mil anys de treball i gràcies als progressos de l'àlgebra i de l'anàlisi matemàtica.

Un deixeble d'Arquites, Èudox de Cnido (400-347 aC), va desenvolupar una teoria geomètrica per a l'estudi dels nombres irracionals continguda en el llibre V dels Elements d'Euclides. Aquesta teoria va ser perfeccionada al segle XI pel poeta i matemàtic persa Omar Kayyam, autor de la col·lecció de poemes les Rubbaiates . L'exposició d'Èudox és d'una perfecció lògica extraordinària, precursora de la matemàtica rigorosa del segle XIX, i, en especial, de la teoria de talls per a la construcció dels nombres reals introduïda per Dedekind.

Els ens matemàtics tenen caràcter exacte, cosa que no succeeix amb els objectes sensibles, perquè, per exemple, una recta que es dibuixe, per molt perfecta que siga el regle emprat, apareixerà amb irregularitats, per això els pitagòrics arribaren a la conclusió que el raonament exacte es fa sobre objectes ideals en què la realitat és eterna, i que de totes les activitats humanes, la intel·lectual és la més noble. Un pas més per a assolir el resultat que els ens matemàtics són pensaments de Déu, d'ací que l'afirmació posterior de Plató que Déu és un geòmetra estiga perfectament justificada. D'altra banda, Plató va molt més lluny i inventa la seua coneguda teoria de les idees, el caràcter general de la qual té més amplitud que les matemàtiques; a més, Plató construeix la seua teoria de la reminiscència amb què explica com certs coneixements no són més que records de coses sabudes en existències anteriors. Això està molt ben exposat en el diàleg Menó, o de la virtut, en què Sòcrates es dirigeix a Menó i li diu que no hi ha ensenyament sinó reminiscència, i per demostrar-li-ho li diu que cride un dels seus esclaus; s'estableix llavors entre Sòcrates i l'esclau un diàleg en què, a pesar que l'esclau no sap res de matemàtiques, obté la prova del teorema de Pitàgores en un cas particular: quan els catets del triangle rectangle són iguals. En el transcurs d'aquesta demostració hi ha un moment en què Sòcrates es dirigeix a Menó i li diu: "ho veus, Menó, que jo no li ensenye res: em limite a preguntar-li sobre tot això". La lectura d'aquest diàleg socràtic, encara que no s'arribe a concloure el que és la virtut, és deliciosa. Això succeeix amb tots els escrits de Plató, excepte potser amb el diàleg més llarg: La República .

Diré ara un poc més sobre els Elements d'Euclides. Comencen amb vint-i-tres definicions entre les que cite les següents:
1.      Un punt no té cap part.
2.      La recta té longitud però no té amplària.
15.    Un cercle és una figura plana limitada per una línia els punts de la qual estan a la mateixa distància d'un punt fix: el centre.
23.    Rectes paral·leles són les situades en un pla que per més que es prolonguen no es tallen.

A continuació segueixen cinc postulats:
1r)     Per dos punts passa una recta.
2n)     Una recta pot prolongar-se indefinidament.
3r)     Es pot traçar una circumferència de centre i radis donats.
4t)     Tots els angles rectes són iguals.

I finalment, el famós postulat cinqué d'Euclides, el de les paral·leles, que pose en la forma següent:
5é)    En un pla, per un punt exterior a una recta, es pot traçar una única paral·lela a la recta donada.

Després dels postulats hi ha cinc axiomes:
1r)     Dues coses iguals a una tercera són iguals entre si.
2n)    Si se sumen coses iguals a coses iguals, les sumes són iguals.
3r)     Si es resten coses iguals a coses iguals, el resultat són coses iguals.
4t)     Coses que poden ser intercanviades són iguals.
5é)    El tot és més gran que la part.
A partir d'ací s'exposa l'obra com una cadena deductiva de proposicions.

És obvi que els postulats tenen caràcter matemàtic mentre que els axiomes posseeixen uns matisos més generals i poden ser utilitzats en els fonaments d'altres ciències. Modernament, aquesta diferència grega no subsisteix i s'usa la paraula axioma amb el mateix significat que postulat.

En el llibre I dels Elements no s'usa el postulat cinqué fins a la proposició vint-i-nou. Les anteriors proposicions pertanyen al que actualment es denomina geometria absoluta. Aquesta geometria està formada per les propietats geomètriques que s'obtenen sense usar el postulat de les paral·leles. És comprensible que des de l'antiguitat es tractara de provar la proposició vint-i-nou sense usar el postulat cinqué, o el que és equivalent, millorar la geometria d'Euclides no admetent la propietat de les paral·leles sense demostració, és a dir, com a postulat, sinó tractar de provar-la a partir dels altres axiomes, acceptats implícitament o explícitament en els Elements , o el que és igual, veure que aquest postulat és una proposició dins de la geometria absoluta.

Durant vint segles han sigut nombrosos els intents per demostrar el postulat cinqué, però el matemàtic que per primera vegada va anar més lluny en aquesta qüestió va ser el jesuïta italià Saccheri (1667-1733), professor de matemàtiques a la Universitat de Pavia que el 1733 va publicar una investigació important sobre aquest postulat. No pareix que la publicació de Saccheri cridara molt l'atenció en la seua època, i va ser oblidada ràpidament; el seu treball no va ser conegut tampoc pels fundadors de la geometria no euclidiana: Gauss, Lobachewsky i Bolyai. Tanmateix cal situar Saccheri entre els grans matemàtics que han contribuït d'una manera clara al desenvolupament d'aquesta geometria.

Saccheri es posa a demostrar el postulat cinqué d'Euclides a partir dels altres postulats construint un cert quadrilàter, anomenat actualment quadrilàter de Saccheri, i raonant a partir d'aquest arriba a la conclusió. En el fons, Saccheri el que fa és aplicar un mètode que en matemàtiques es denomina reducció a l'absurd, partint de la hipòtesi que equival al fet que en el pla, per un punt exterior a una recta es pot traçar més d'una recta paral·lela a la recta donada i, raonant a partir d'ací, tractar d'arribar a una contradicció. Construeix una llarga cadena de proposicions de les quals algunes són molt curioses com, per exemple, que la suma dels angles d'un triangle és més petita que dos angles rectes, però malgrat tot el treball que va fer, no va assolir el seu objectiu. Actualment se sap que Saccheri mai no hauria pogut arribar a una contradicció. D'altra banda, en obtenir la seua cadena de proposicions estava desenvolupant, sense adonar-se'n, una nova ciència: la geometria no euclidiana. Aquesta geometria es construeix partint dels postulats que apareixen explícitament o implícitament en els Elements d'Euclides, suprimint el postulat de les paral·leles i posant en lloc seu el següent: "En un pla, per un punt exterior a una recta, es pot traçar més d'una paral·lela a aquesta recta". Moltes de les proposicions d'aquesta geometria es contradiuen amb altres resultats de la geometria euclidiana. Podria creure's, en vista d'això, que si la geometria euclidiana és veritat, llavors la geometria no euclidiana és falsa, però si s'entén el concepte de vertader com a exempt de contradicció, llavors es prova amb models adequats que si la geometria euclidiana és veritat també és veritat la geometria no euclidiana.

Podem concloure de tot això que els esforços de dos mil anys per a tractar de provar el postulat de les paral·leles no van poder complir el seu objectiu, perquè això era impossible, però van servir per a assolir metes més importants com ara l'estudi profund de la naturalesa de la matemàtiques i el descobriment de la geometria no euclidiana.

Gauss, alemany de Gotinga, potser el matemàtic més important de tots els temps, va ser el primer que va tenir una idea clara sobre una geometria distinta de la d'Euclides. Quan tenia al voltant de vint anys va començar a estudiar la teoria de les paral·leles i durant quasi trenta anys va prosseguir aquests estudis. Després de moltes reflexions va fonamentar la nova geometria, que va anomenar no euclidiana, i que va desenvolupar en part.

El 1824 va escriure una carta al seu amic F. A. Taurinus, en què diu: "La hipòtesi que la suma dels angles d'un triangle és més petita que dos angles rectes condueix a una geometria molt curiosa, molt diferent de la nostra, però totalment consistent, i que he desenvolupat satisfactòriament. Els teoremes d'aquesta geometria pareixen paradoxals i, per als no iniciats, absurds, encara que un poc de serena reflexió mostra que no tenen res d'impossibles". I a més diu en la seua carta: "aquesta és una comunicació privada a la que no es pot donar publicitat ni fer res que contribuïsca a donar-li'n". La raó per la qual Gauss no es va atrevir a publicar el seu descobriment està en la gran autoritat d'Emmanuel Kant, mort el 1804.

Kant va escriure un llibre de ciència sobre els terratrèmols arran del famós terratrèmol de Lisboa, ocorregut el 1755; però Kant no era un científic, sinó un filòsof. No obstant això, les seues idees van exercir una gran influència en tots els camps. Kant va ser el fundador de l'idealisme alemany. En la seua obra La crítica de la raó pura , la més important que va escriure, publicada el 1781, pretén provar que el nostre coneixement no sols procedeix de l'experiència sinó que hi ha també una part d'aquest a priori , que no s'obté a partir del món exterior. La lògica i totes les proposicions de les matemàtiques pures són per a ell a priori . Per a Kant, l'espai i el temps són subjectius i formen part del nostre aparell de percepció. Plató deia que Déu és un geòmetra; però Kant va molt més lluny i afirma que l'espai és euclidià. Atesa la immensa autoritat de Kant, Gauss no es va atrevir a publicar els seus descobriments que li ocuparien un temps que no estava disposat a perdre. Fins al 1831 no va redactar un breu resum de la nova geometria; aquest resum es va trobar entre els seus papers quan va morir.

Un amic de Gauss, Wolgang Bolyai, matemàtic hongarés, que va estudiar a Gotinga, va publicar el 1832 un tractat de geometria en dos volums. El seu fill Johann va contribuir a aquesta obra afegint-hi un apèndix de vint-i-sis pàgines que arreplegava les seues investigacions sobre geometria, investigacions que havia iniciat deu anys abans quan tenia vint-i-un anys. Aquest apèndix conté els resultats fonamentals de la geometria no euclidiana. Un exemplar va ser enviat per Wolgang Bolyai al seu amic Gauss el 1832 i va tenir com a resultat que Gauss abandonara el seu projecte d'escriure les seues pròpies investigacions en una forma detallada.

Johann Bolyai va estudiar les conseqüències que es deriven dels Elements d'Euclides en suprimir el postulat cinqué i substituir-lo pel següent:

"Existeix en el pla una recta i un punt exterior a aquesta pel qual es pot traçar més d'una paral·lela a aquesta recta". Així va obtenir moltes proposicions entre les quals se'n troben d'altres que el jesuïta Saccheri havia obtingut abans, amb la diferència que Saccheri pretenia arribar a una contradicció mentre que Bolyai sabia que desenvolupava una nova geometria.

Gauss va escriure una carta a Wolgang Bolyai en què, entre altres coses, li deia: "El contingut sencer del treball, el camí traçat pel teu fill, els resultats als quals va arribar coincideixen quasi enterament amb les meues meditacions, que han ocupat en part la meua ment durant trenta o trenta-cinc anys. Així, vaig quedar completament estupefacte. Quant al meu treball personal, del qual, fins ací he confiat ben poc al paper, era la meua intenció no deixar que es publicara res durant la meua vida. En efecte, la major part dels homes no tenen idees clares sobre les qüestions a què ens referim i jo he trobat molt poques persones que prestaren un especial interés al que els vaig comunicar sobre aquest assumpte. La meua idea era escriure, amb el temps, tot això, perquè almenys no perira amb mi. I, així, és per a mi una agradable sorpresa veure que aquesta fatiga pot ser-me evitada ara, i estic summament content que siga precisament el fill del meu vell amic qui m'haja precedit d'una manera tan notable".

D'altra banda, un matemàtic rus, professor de la Universitat de Kazan, Nicolai Ivanovitx Lobachewsky, que va ser rector d'aquesta Universitat durant vint anys, havia descobert també la geometria no euclidiana i va publicar els seus resultats el 1829, abans que Johann Bolyai.

He de dir ara que les geometries s'apliquen al món, però que les propietats espacials del món no són exactament les propietats estudiades per l'home en les seues geometries, i així resulta que l'espai euclidià s'aproxima localment a l'espai ordinari i, per tant, la geometria d'Euclides pot usar-se en moltes construccions de l'enginyeria, però quan es tracta d'aplicar-la a l'univers, les coses ja no són tan clares. D'altra banda, he de dir que les matemàtiques han sigut aplicades molt en altres ciències, com, per exemple, en física, amb models matemàtics a vegades de gran èxit i també, altres vegades, amb rotunds fracassos. Vull referir-me ací a un dels científics més famosos del nostre segle: Albert Einstein. Pel que sembla Einstein concebia la investigació física com una espècie de joc entre Déu i l'investigador, de manera que Déu havia creat unes lleis de l'univers, que mantenia més o menys ocultes, i l'investigador tractava de posar-les al descobert. Per aquesta raó, una vegada que li van presentar un model matemàtic de certs fenòmens físics, model extremament difícil, d'una complicació quasi sobrehumana, Einstein, amb cert sentit de l'humor, va dir el següent: Déu és astut, però no pervers.

Tornant a la geometria, és natural que Gauss es plantejara el problema de si l'espai real seria euclidià o no. Per tal de trobar la resposta, va fer el mesurament, prop de Gotinga, d'un triangle en què els vèrtexs eren cims de muntanyes i els costats tenien longituds d'aproximadament cinquanta quilòmetres: si aconseguia provar que la suma dels angles d'aquest triangle era més petita que dos angles rectes, llavors l'espai ordinari no seria euclidià. Va fer els mesuraments i els càlculs i va concloure que la diferència entre dos angles rectes i la suma dels angles d'aquest triangle podria deure's als errors dels instruments de mesura. Per tant, la seua pregunta de llavors va quedar sense resposta.

Cap dels fundadors de la nova geometria no va resoldre el problema de la seua compatibilitat lògica. Pareix que Bolyai temia que en ampliar els seus estudis a l'espai tridimensional trobaria incompatibilitats; Lobachewsky pensava una cosa anàloga. Va ser Beltrami, matemàtic italià, qui en 1868 va publicar un article en què interpretava el pla no euclidià, localment, com una superfície, la pseudoesfera: les rectes són les geodèsiques de la dita superfície. D'aquesta forma obtenia un model euclidià de la geometria no euclidiana. Per tant, si la geometria d'Euclides era certa, també ho era la no euclidiana, d'ací que la nova geometria fóra tan compatible com l'antiga.

Tant en la geometria euclidiana com en la no euclidiana cada recta es considera infinita. Tanmateix, si no es mira la recta com a infinita, es pot obtenir una geometria, la de Riemann, en què no hi ha paral·leles i la suma dels angles d'un triangle és més gran que dos angles rectes. Sembla que la geometria de Riemann està més pròxima a l'espai real que la d'Euclides; Albert Einstein en fa ús en la seua teoria de la relativitat general.

Felix Klein va donar a la geometria que hem considerat els noms que tenen actualment, és a dir, la geometria de Saccheri, Gauss, Bolyai i Lobachewsky rep el nom de geometria hiperbòlica, la de Riemann, geometria el·líptica, i la d'Euclides, geometria parabòlica.

L'estudi detallat de la geometria va portar alguns matemàtics del segle XIX a una anàlisi profunda i exhaustiva dels fonaments. El principal artífex va ser David Hilbert, matemàtic alemany que el 1899 va publicar la seua famosa obra Fonaments de geometria . Per descomptat que abans de l'obra de Hilbert es van publicar importants treballs sobre les bases de la geometria, com els de Meray, Pasch, Peano, Veronese i Enriques, però va ser Hilbert qui la va encertar amb un sistema axiomàtic que ha quedat definitiu, i va demostrar a més la independència i consistència dels axiomes reduint la geometria a l'aritmètica. Hilbert va posar de manifest que si en aritmètica no s'assoleix contradicció, tampoc no s'arriba a contradicció en geometria.

En matemàtiques, un sistema axiomàtic es diu que és incomplet quan hi ha algun enunciat que té sentit en la teoria deduïda d'aquest sistema i que és indecidible, és a dir, que la seua veritat o falsedat no es pot demostrar a partir dels axiomes, així per exemple, el sistema d'axiomes de la geometria absoluta és incomplet, ja que no es pot demostrar a partir d'aquests axiomes si l'enunciat de les paral·leles és vertader o fals, és a dir, no es pot provar a partir d'aquests axiomes si el següent és vertader o fals: "En un pla, per un punt exterior a una recta, es pot traçar una sola recta paral·lela a aquella".

És natural preguntar-se, doncs, si el sistema d'axiomes de Hilbert, els quals donen lloc a la geometria euclidiana, és incomplet o no. Com que Hilbert redueix la geometria a l'aritmètica, la pregunta la podem fer sobre l'aritmètica. La resposta a això la va donar l'austríac Kurt Gödel, el lògic més important d'aquest segle i un dels pensadors més grans de tots els temps. Va nàixer a Brün (Moràvia) el 1906. Va estudiar matemàtiques a la Universitat de Viena i es va doctorar també en aquesta universitat. En la seua tesi doctoral demostra la suficiència dels axiomes del càlcul lògic de primer ordre. Probablement és la tesi doctoral més breu que s'ha escrit mai: només té onze pàgines. Gödel va participar en les activitats del famós Cercle de Viena. El 1939 fugí dels nazis i va anar als Estats Units, on es va quedar fins que va morir, el 1978. Va ser membre de l'Institut d'Estudis Avançats de Princeton des de 1940. No sols va investigar en lògica i en filosofia de les matemàtiques, sinó també en teoria general de la relativitat influït pel seu company Einstein, que també era membre de l'Institut. Doncs bé, Gödel, el 1930, publica el seu famós teorema de la incompletesa de l'aritmètica en què demostra que tot sistema d'axiomes que continga l'aritmètica elemental és incomplet.

Un aspecte de les matemàtiques molt discutit al llarg del temps és el de les aplicacions. És difícil conéixer per a resultats de la matemàtica pura si algun dia arribaran a aplicar-se, perquè la història ens diu com és de difícil respondre a això, com poden servir d'exemple les propietats de les còniques. Un matemàtic pitagòric del segle IV aC, Menechmo, deixeble d'Èudox, va trobar el mètode de les coordenades redescobert al segle XVII per Descartes, i estudiant el problema de la duplicació del cub va iniciar la teoria de les còniques. Més tard, Apol·loni, matemàtic grec, va escriure al segle III aC la seua magistral obra sobre les còniques. Apol·loni pensava que les seues investigacions eren pures elucubracions que no s'aplicarien mai, però al segle XVII, Kepler, usant les nombroses dades de les observacions de l'astrònom Tycho Brahe, va descobrir les seues famoses lleis, la primera de les quals afirma que cada planeta descriu una el·lipse tal que en un dels seus focus es troba el Sol, la segona diu que el segment rectilini que uneix el Sol a un planeta passa per àrees iguals en temps iguals, i la tercera expressa, per a dos planetes diferents, la proporcionalitat entre els quadrats dels períodes en girar al voltant del Sol i els cubs de les distàncies mitjanes al Sol. Més tard, Newton introdueix la llei de la gravitació universal i, adoptant la hipòtesi simplificada de dos cossos, el Sol i un únic planeta, va ser capaç a partir d'ací d'obtenir matemàticament les tres lleis de Kepler. És natural pensar que si Kepler no haguera conegut les còniques, i, en particular, no haguera sabut el que és una el·lipse, difícilment hauria arribat a enunciar aquestes lleis.

Un altre exemple és el d'un matemàtic hongarés, nacionalitzat americà, John von Neumann, que es va ocupar dels fonaments de les matemàtiques i va introduir en 1925 una famosa axiomàtica de la teoria dels conjunts en què fa ús del concepte primitiu de classe. També va treballar en problemes d'hidrodinàmica i hagué de manejar certes equacions en derivades parcials les solucions de les quals eren difícils d'estudiar. Llavors va sentir que hi havia necessitat d'aconseguir dades numèriques per a aquestes solucions, l'observació de les quals il·luminara un camí que conduïra a la creació d'una teoria. Això el va obligar a examinar el problema del càlcul amb màquines electròniques. Durant els anys 1944 i 1945 Von Neumann va aportar importants descobriments sobre computació.

El matemàtic polonés Stanislaw Ulam, nacionalitzat americà, amic de Von Neumann i que va treballar amb aquest a Los Álamos, en un projecte d'investigació atòmica, diu que les aportacions de Von Neumann a la teoria de la computació estan inspirades en els articles que va escriure sobre fonaments de les matemàtiques. Això posa de manifest que fins i tot la part més abstracta de la matemàtica pot ser aplicada.

De totes maneres, cal tenir en compte en les matemàtiques molt més que els aspectes merament utilitaris. Així, la teoria de conjunts infinits, creada pel matemàtic alemany Cantor, a final del segle passat i principi d'aquest, ha sigut la base del gran desenvolupament de la lògica matemàtica, un dels èxits intel·lectuals més grans del nostre segle. D'altra banda, la bellesa de la teoria de conjunts és extraordinària. Quan l'alemany Frege va publicar la seua obra en què construeix les matemàtiques a partir de certs principis de lògica, Bertrand Russell va comunicar a Frege una contradicció que es deduïa dels principis usats per aquest. Aquesta contradicció és la famosa paradoxa de Russell. Abans de Russell s'havien detectat paradoxes en la teoria de conjunts per Cantor mateix i per Burali-Forti, però la paradoxa de Russell, que a més l'havia trobada independentment el matemàtic alemany Zermelo, és tan directa i clara que no és estrany que causara una gran commoció en les matemàtiques. Pareixia que l'edifici construït per Cantor trontollava. Fraenckel conta que algú va comunicar a David Helbert la seua preocupació per l'existència de les paradoxes; la contestació de Hilbert va ser la següent:

"Cantor va construir amb la seua teoria de conjunts un paradís per als matemàtics, i no hi haurà ningú capaç d'expulsar-nos-en".

Voldria citar ací el matemàtic polonés Sierpinski, que va dedicar la seua vida a la investigació dels conjunts infinits. La seua tomba, a Varsòvia, d'acord amb el seu desig expressat molts anys abans de la seua mort, té la inscripció següent:

Waclaw Sierpinski, 1882-1969, explorador de l'infinit.

Ara diré unes paraules sobre la meua postura personal. No m'he conformat d'aprendre matemàtiques, sinó que m'he preocupat també per adquirir forts hàbits mentals en aquest camp, i fins i tot més, he incorporat les matemàtiques a la meua vida. He estimat profundament la meua professió, amb una calor quasi religiosa. Podria dirigir-me a les matemàtiques que conec com Antonio Machado als àlbers de la vora del Duero i els diria, veniu amb mi, el meu cor us porta.

Acabe ja donant les gràcies pel gran honor que m'ha sigut concedit i també per l'atenció que m'han prestat.