Manuel Valdivia Ureña

Molt Honorable President de la Generalitat,
Magnífics i excel·lentíssims senyors,
Excel·lentíssims i il·lustríssims senyors,
Senyors claustrals,
Senyores i senyors:

Parlar dels abundants mèrits del professor Valdivia com a matemàtic i com a mestre dins del seu aspecte humanístic és per a mi entranyable per l'admiració i l'afecte que li tinc. Per tant agraïsc a la Universitat i al professor Valdivia l'immerescut honor que m'han atorgat de fer aquesta presentació.

Manuel Valdivia va passar la seua joventut al seu poble, Martos (Jaén), i es va sentir molt atret per les matemàtiques, però molt més per la filosofia, la literatura i en especial per la poesia. Va llegir Antonio Machado, Miguel d'Unamuno, Juan Ramón Jiménez i els poetes de la generació del 27, com Federico García Lorca, Luis Cernuda, Pedro Salinas, Jorge Guillén, Gerardo Diego, etc. En el temps en què estudiava la prova de Hermite de la transcendència del nombre i llegia el llibre de poesia Sombra del paraíso de Vicente Aleixandre i després de llegir l'oda "Luna del paraíso" va pensar, segons paraules seues, que no sabria elegir entre aquesta oda i el treball de Hermite, i decidí que la poesia i les matemàtiques l'acompanyarien tota la vida. Valdivia, sense saber-ho llavors, feia seu el sentir del filòsof i matemàtic anglés Bertrand Russell quan deia que el vertader esperit d'alegria, i l'excel·lència més elevada es troben tant en la matemàtica com en la poesia.

Paradoxalment amb aquesta decisió i després del seu examen d'estat a la Universitat de Granada, inicia els estudis superiors a la Facultat de Dret de Madrid, on no arriba a concloure el primer curs i comença a preparar l'ingrés a l'Escola d'Enginyers Agrònoms. En la seua nova inclinació influeix un fet accidental: alguns companys de pensió preparen l'ingrés a Agrònoms i Valdivia observa que amb sols els seus coneixements matemàtics de Batxillerat és capaç de resoldre els problemes que es resisteixen als seus companys, veterans d'uns quants anys de preparació.

Valdivia acaba el 1959 la carrera d'Enginyer Agrònom i obté una beca en investigacions agronòmiques al mateix temps que és nomenat professor adjunt de Matemàtiques a la seua Escola. Se li concedeix el grau de Doctor Enginyer Agrònom i durant els dos anys següents obté la llicenciatura en Ciències Matemàtiques a la Universitat Complutense. Darío Maravall, un eminent valencià també enginyer agrònom i matemàtic, posa en contacte Valdivia amb un deixeble del mític Rey Pastor que es deia Ricardo San Juan qui, des del primer moment, aprecia els extraordinaris dots de Valdivia, que obté el doctorat en Ciències Matemàtiques el 1963. El 1965 obté la càtedra d'Anàlisi Matemàtica en la llavors Universitat Literària de València i el 1969 la càtedra de Matemàtiques de l'Escola Tècnica Superior d'Enginyers Agrònoms d'aquesta Universitat. En aquesta ultima càtedra va demanar l'excedència el 1976.

Retrocedim un poc en el temps, concretament a final de 1967, any en què es produeix un canvi essencial de rumb en les investigacions matemàtiques de Valdivia, canvi que coincideix amb el seu estudi de les obres de Köthe i Schaefer sobre espais vectorials topològics que són una generalització dels espais euclidians de dimensió finita, motivada per problemes de l'anàlisi funcional. En aquest context dels espais vectorials topològics s'estudia amb comoditat la teoria de la mesura i de les distribucions, amb moltes de les seues variades aplicacions.

El començament de l'obra amb repercussió internacional de Valdivia va tenir lloc a final de 1968, quan va obtenir els teoremes generals de l'aplicació oberta i el de l'aplicació amb gràfica tancada, denominat avui en els llibres teorema de K-omura-Adasch-Valdivia. El fi sentit matemàtic de Ricardo San Juan el va portar a intuir l'obra de Valdivia, perquè consta que el 12 de gener de 1968 va escriure al professor John Horváth de la Universitat de Maryland: "He llegit curiosament la magistral obra del professor Köthe en espais vectorials topològics, i el professor Valdivia, catedràtic a València, la tesi doctoral del qual he dirigit, treballa en això i pense que obtindrà resultats, perquè em pareix un excel·lent investigador".

Ara som a vint-i-cinc anys dels primers descobriments de Valdivia. En aquests anys ha publicat més de cent trenta articles sobre espais vectorials topològics i espais de Banach i qüestions relacionades, en els quals ha resolt difícils problemes, molts dels quals han estat oberts uns quants anys, ha creat nous conceptes per a resoldre'ls i ha inspirat molts investigadors tant a Espanya com en altres països. En l'ingrés de Valdivia a la Reial Acadèmia de Ciències de Madrid el 1977, Germán Ancochea escrivia que "els qui hem espigolat en els seus treballs coneixem la fina labor d'orfebre que l'adorna, l'equilibri de la seua imaginació a l'hora de considerar generalitzacions, ni excessives ni escasses, just per a poder atacar els problemes que necessiten nous punts de vista o instruments de treball; labor, continuava escrivint Germán, en suma d'artista i no hem d'oblidar que la matemàtica abans que ciència és un art".

El desenvolupament de la matemàtica ha anat unit a la solució de difícils problemes que contínuament sorgeixen des de la activitat matemàtica mateixa o des d'altres branques científiques. Des del 1968 Valdivia s'ha caracteritzat per resoldre problemes difícils, molts dels quals han resistit més de vint anys l'esforç d'excel·lents matemàtics; la solució d'aquests està unida al nom de Valdivia. Ja el 1973, en un congrés celebrat a Silivri (Turquia), amb motiu de la inauguració de l'Institut de Matemàtiques, el conegut especialista en espais de Banach, el professor Alexander Pelczynski, va plantejar en la seua conferència un problema, al seu parer de gran dificultat. Després es va adreçar al públic i va dir: "aquest seria un bon problema per al professor Valdivia". Cal, doncs, contar, molt succintament i minimitzant tant com puguem els aspectes formals, alguns dels difícils problemes resolts per Valdivia, per als quals quasi sempre ha hagut de desenvolupar noves teories i ha mostrat, en paraules del professor Horváth, un enginy increïblement astut. Donarem preferència a l'agrupació temàtica davant de l'estricte ordre cronològic.

El grup Bourbaki, l'obra del qual ens recorda la d'Euclides traslladada al nostre segle, va denominar tonellats els "espais vectorials topològics per als quals el principi de fitació uniforme és vàlid". Els espais base per a l'estudi de les distribucions de Schwartz tenen propietats més fortes que la tonellació, perquè són ultrabornològics en ser límits inductius d'espais de Banach. Els límits inductius d'espais normats es diuen espais bornològics. Dieudonné va provar que cada subespai de codimensió finita d'un espai tonellat o bornològic és, respectivament, tonellat o bornològic. El primer resultat de Dieudonné va ser ampliat pel professor Valdivia el 1971 a subespais de codimensió numerable ([17]). La separació entre espais tonellats, bornològics i ultrabornològics també deu molt al treball del professor Valdivia. El 1954 Nachbin i Shirota van construir, independentment, espais tonellats que no eren bornològics suposant certa la hipòtesi del continu. La construcció de tonellats no bornològics, independent de la hipòtesi del continu, va ser feta per Kömura i per Valdivia el 1972 ([22]). En la primera edició de l'obra Espais vectorials topològics de Bourbaki (1955) s'afirma que no es coneix cap espai tonellat i bornològic que no siga ultrabornològic. Aquest problema va romandre obert fins al 1971, en què el professor Valdivia va trobar una classe d'espais tonellats i bornològics que no eren ultrabornològics ([18]). Valdivia encara donarà d'aquest difícil problema altres dues solucions: la primera el 1974 construint en [34] una topologia adequada en l'espai D'(z) de les distribucions de Schwartz, i la segona en 1977, obtenint en [53] un espai ultrabornològic amb un hiperplà que no és ultrabornològic.

El fet que la tonellació d'un espai siga una propietat molt útil en les aplicacions va motivar l'estudi d'altres propietats més fortes que la tonellació que també deuen molt a l'obra de Valdivia, perquè Grothendieck va introduir l'espai lo(I) format per les funcions que prenen només un nombre finit de valors en I proveït amb la norma suprem, el dual de la qual són les mesures finitament additives, i va provar el 1958 que aquest espai és tonellat, resultat que en teoria de la mesura es coneix com el teorema de fitació de Nikodym-Grothendieck. El 1979 Valdivia prova que lo(I) té una propietat molt més forta que la tonellació, propietat que li permet obtenir noves propietats de localització en teoria de la mesura, ([70]). La propietat trobada per Valdivia és usada per Robertson, Tweddle i Yeomans per a introduir el 1980 els espais supratonellats. L'any següent Valdivia i Pérez Carreras introdueixen els espais totalment tonellats ([87]), n'estudien les propietats i plantegen com a problema obert si el ja referit espai lo(I), base de la teoria de la mesura, és o no totalment tonellat. La resposta negativa a aquest problema la va donar Arias de Reyna el 1985. Avui en dia se sap que lo(I) té propietats més fortes que la supratonellació, propietats que es tradueixen en resultats de teoria de la mesura, que dirigits pel professor Valdivia, hem trobat amb el professor Ferrando. Tal vegada el llibre més complet sobre tonellació es dega a dos deixebles de Valdivia, els professors d'aquesta Universitat Pérez Carreras i Bonet.

El 1954 Grothendieck va escriure una cèlebre monografia sobre els espais de Fréchet i DF en què va proposar diversos problemes oberts. En un d'aquests problemes es preguntava si seria cert que quan un espai E fóra el límit inductiu d'una successió creixent de subespais En, es tindria que el bidual E" seria el límit inductiu estricte de la successió de biduals E"n. El 1979 ([66]) el professor Valdivia va aconseguir donar una resposta negativa a aquest problema. Un altre problema proposat per Grothendieck era si existirien espais DF amb un sistema fonamental numerable de fitats que satisfan la condició de convergència de Mackey, però no satisfan la condició de convergència de Mackey en sentit estricte, que va ser resolt afirmativament per Valdivia el 1981 en l'article [79]. El 1989, quaranta-cinc anys després de ser plantejat per Grothendieck, encara no se sabia si el producte de dos espais de Fréchet totalment reflexius era totalment reflexiu. Un espai E és totalment reflexiu si qualsevol dels seus quocients Hausdorff és reflexiu. Aquell any, en [109], el professor Valdivia va resoldre afirmativament el problema amb una elegant, i molt llarga, caracterització dels espais de Fréchet totalment reflexius.

La completesa de l'espai base de les distribucions de Schwartz D(z) definides en un obert z de Rn és conseqüència d'un cèlebre teorema de Köthe que ens diu que el límit inductiu estricte d'una successió d'espais complets és complet. Altres conceptes més forts de completació són la Br completació i la B completació introduïts per Vlastimil Pták cap al 1950. Des de llavors va quedar obert el problema de trobar un Br complet que no fóra B complet, problema resolt per Valdivia el 1984 ([94]). Abans, el 1974, ja havia provat, utilitzant un resultat de Smoljanov, que l'espai D'(z) no era Br complet ([34]) i el 1977 va provar que l'espai base de les distribucions D(z) tampoc no és Br complet ([57]). Aquests resultats anaven preparant el camí que el va portar el 1984 a resoldre el problema obert trenta-quatre anys de l'existència d'un Br complet no B complet. Completant aquests resultats el 1987 prova que els espais Beurling d'ultradistribucions tampoc no són Br complets.

Un espai F que siga Br complet té la propietat que cada aplicació lineal u amb gràfica tancada, definida en un espai tonellat E i amb valors en F és contínua. Atés que hi ha espais F que no són Br complets i que tenen la propietat que hem assenyalat, el professor Valdivia va introduir el 1968 els espais Gr ([4]) i ([12]), que contenen estrictament els Br complets i és la classe maximal per a la qual val el teorema de la gràfica tancada amb els tonellats, perquè un espai F és Gr si, i només si, cada aplicació lineal amb gràfica tancada definida en un espai tonellat E i amb valors en F és contínua. El professor Valdivia va donar caracteritzacions dels Gr simultànies a les d'Adasch, si bé uns anys abans, des d'una altra perspectiva, K-omura havia abordat el mateix problema. Més tard, el 1974, en [39] introdueix els espais Lr, espais que li permeten donar un teorema de gràfica tancada que fa referència a aplicacions dèbilment contínues.

Hi ha altres dos aspectes del teorema de la gràfica tancada amb importants aportacions del professor Valdivia. El llibre de Laurent Schwartz sobre mesures de Radon conté un teorema de gràfica boreliana que va atraure l'atenció de Valdivia pels espais de Suslin. Entre les seues aportacions ara només assenyalem la seua solució a un problema de Schwartz que consisteix que si l'espai E té la topologia dèbil, i aquesta topologia és diferent de la de Mackey, succeeix que per a cada espai F els p i e productes tensorials completats de E i F no són de Suslin. L'altre resultat que també va atraure l'atenció de Valdivia va ser la solució donada per Marc de Wilde el 1967 amb els espais amb xarxes de tipus C a la cèlebre conjectura de Grothendieck sobre gràfica tancada; el 1986, en [99], Valdivia descobreix la relació entre els espais introduïts per De Wilde amb els introduïts abans per Slowikowski i Raikov i l'any següent, en [102], introdueix els quasi-(LB)-espais que també donen una solució al problema de Grothendieck i resolen una conjectura plantejada per De Wilde.

Es deu a Banach que una bijecció lineal i contínua entre dos espais de Fréchet és un isomorfisme. Aquest resultat va ser millorat per Ptak provant que una aplicació lineal i contínua u definida en un espai Br complet E i amb valors en un espai tonellat F és un isomorfisme. Com succeïa en el teorema de la gràfica tancada, ni els espais Br complets ni els tonellats són les classes maximals per a les quals val el teorema de l'isomorfisme. El 1968, en [5] i [13], el professor Valdivia introdueix els espais Vr, que contenen els Br complets, i els espais Wr, que contenen els tonellats, i que són les classes maximals per a les quals val el teorema de l'isomorfisme. També en aquests treballs introdueix els espais V i els W, que són les classes maximals per a les quals val el teorema de l'aplicació oberta, que és l'extensió natural del teorema de l'isomorfisme.

Estem segurs que els que coneguen l'obra de Valdivia s'estranyaran que encara no s'haja parlat de les seues aportacions en espais de successions, en holomorfia infinita i en espais de Banach. En espais de successions ha obtingut molts resultats en espais escalonats de Köthe, ha usat els espais de successions en la representació d'espais i són sorprenents les seues representacions dels espais distribucions en funció de l'espai s de les successions de decreixement ràpid. Per exemple, ha obtingut que l'espai D(z) és isomorf a la suma directa d'una quantitat numerable de còpies de l'espai s de successions de decreixement ràpid, i el seu dual, l'espai de les distribucions D'(z), és isomorf al producte d'una quantitat numerable de còpies de s', dual topològic de s. Algunes de les representacions de Valdivia han sigut obtingudes independentment pel matemàtic alemany Vogt.

El contacte de Valdivia amb l'holomorfia infinita es produeix durant una visita que va fer a Dublín al febrer de 1980, i immediatament va començar a obtenir resultats, que per la complexitat tècnica que tenen no comentarem.

Darrerament el seu interés se centra preferentment en espais de Banach i una mostra de la repercussió de la seua investigació actual són vuit articles molt recents del professor Valdivia, un dels quals encara en premsa, que apareixen arreplegats en els capítols finals del llibre publicat enguany sobre espais de Banach per Devill, Godefroy i Zizler. Vaig poder constatar l'expectació que desperta l'obra que Valdivia està realitzant ara en el Congrés Internacional d'Anàlisi Abstracta que es va fer enguany a l'abril a Sud-àfrica per l'eloqüent i singular silenci que es va respirar quan Valdivia va exposar la seua comunicació, que va ser la solució a una conjectura plantejada el 1970 en el llibre de Singer sobre bases en espais de Banach.

Vull demanar-los disculpes pels tecnicismes emprats; no he sabut prescindir-ne per a presentar succintament algunes de les aportacions de Valdivia a l'anàlisi funcional. El professor Saxon, sense cap tecnicisme, va glossar la seua tasca científica escrivint que "Valdivia és en el món dels espais vectorials topològics el que el mestre Segovia va ser en el món de la guitarra, amb una diferència: mentre que Segovia va rebre l'herència de Tàrrega, Valdivia va ser el pioner a Espanya en la teoria dels espais vectorials topològics". I ara, sense cap tipus de tecnicismes, els comentaré una ajuda excepcional que ha tingut Valdivia, la de la seua muller, María Teresa, que des de sempre ha entés, animat i compartit l'esforç de Manuel.

Valdivia, a més de ser un excel·lent investigador, és un magnífic professor, de gran claredat, que transmet sempre entusiasme en tots els temes que explica, que uneix una gran profunditat i un coneixement variadíssim de les distintes branques de la matemàtica. Es deia del matemàtic francés Hermite que els qui havien tingut la sort de ser els seus alumnes no podien oblidar el sentiment de bellesa i claredat que feia córrer a través del seu auditori. Aquestes paraules es poden aplicar al professor Valdivia. I per això ha sigut ingent la seua tasca de formació de professors i investigadors, i també el seu suport a altres investigadors, tant a les dues universitats de València, com en altres universitats espanyoles i estrangeres. Ha dirigit més de trenta tesis doctorals i són molt nombroses els articles amb notes d'agraïment al professor Valdivia. Citaré el principi i el final d'una nota llarga que m'ha semblant significativa; és a la pàgina 467 del volum 168 del Journal of Mathematical Analysis and Applications en un article del professor Saxon de 1992; comença agraint una carta del professor Valdivia i acaba en majúscules, ho traduïsc literalment, amb un, GRÀCIES SIGUEN DONADES A DÉU! Molts dels deixebles del professor Valdivia hem sentit aquesta exclamació com a manifestació de gratitud per haver conegut. Sé que a Valdivia li hauria agradat que haguera parlat més dels seus deixebles i de les seues obres; el temps constreny i ara només els diré que rep íntimes satisfaccions quan apareixen treballs dels seus deixebles en revistes de primera fila o s'arrepleguen resultats en llibres. Això es produeix cada vegada amb més freqüència, i no sols amb deixebles, sinó ja amb néts . Avui, poc abans d'aquest acte, he rebut una separata d'un deixeble i una néta , els professors López Molina i María José Ribera.

Respecte a l'aspecte humanístic d'aquest gran matemàtic enamorat de la filosofia, la poesia i la música, intentaré descriure alguna faceta a través d'idees que ha escrit o li he sentit. Fa uns quants anys em va comentar que el que demanava a la vida per a quan fóra vell era poder continuar fent matemàtiques. En una altra forma va tornar a escriure aquesta idea en el discurs que va llegir en l'acte d'obertura del curs 1986-1987 a la Universitat de València quan ens va dir que se sentia identificat amb l'esperit filosòfic del poeta llatí Virgili quan, davant de l'intent dels seus amics de dissuadir-lo d'estudiar grec durant els últims anys de vida, va respondre contundentment: "Cal treballar, cal estudiar com si un no haguera de morir mai". En aquest mateix acte es va poder veure una altra faceta del seu esperit quan va manifestar que en els moments adversos, o quan els mitjans de treball que hi havia al seu abast eren exigus mai no havia permés que les lamentacions s'oposaren a l'ús de totes les seues possibilitats, i ens va recitar la frase del poeta bengalí Rabindranath Tagore: "Si ploreu de nit perquè no podeu veure el sol, les llàgrimes us impediran contemplar les estreles".

He tractat de descriure un investigador que fa matemàtiques, un professor que ensenya matemàtiques, i, sobretot, un home que s'esforça a fer el seu treball cada dia a la Universitat amb renovada i juvenil il·lusió, i que ha sigut un gran regal per a València i les seues universitats aquests darrers vint-i-cinc anys.

Sent la convicció profunda que l'obra de Valdivia, els motius de complaença de la qual pels èxits que ha collit són més que sobrats, encara no ha tocat sostre, ni quant a qualitat ni quant a extensió temàtica, i m'atrevisc a dir que als èxits en anàlisi funcional seguiran altres èxits relatius a les qüestions matemàtiques que el van originar i que encara no tenen solució.

He de donar les gràcies, desitge fer-ho, al professor Eduardo Primo Yúfera, de qui va partir la idea de proposar Valdivia com a doctor honoris causa , i també a l'Escola Tècnica Superior d'Enginyers Agrònoms, als departaments de Bioquímica, Estadística i Investigació Operativa, Física Aplicada i Matemàtica Aplicada i al Col·legi d'Enginyers Agrònoms que van fer pròpia la idea del professor Primo Yúfera, i manifestar que som molts, matemàtics i no matemàtics, els qui desitjaríem que el professor Valdivia poguera estar més vinculat amb la nostra Universitat, per als membres de la qual és un gran honor rebre'l com a doctor honoris causa.